# hiddenMap -- linear map between the ring of a model with one hidden variable and the ring of the corresponding fully observed model

## Synopsis

• Usage:
hiddenMap(i,R)
• Inputs:
• i, an integer, the index corresponding to the hidden random variable
• R, a ring, a markovRing
• Outputs:
• ,

## Description

The ring $R$ is a ring of probability distributions on $n$ random variables created using markovRing. This method creates a ring map $F: S \to R$ from the ring $S$ of probability distributions on $n-1$ random variables, leaving out the $i$th random variable from $R$. This corresponds to the situation where the $i$th random variable is hidden and $S$ is the ring of observed probability distributions.

 i1 : F = hiddenMap(1,markovRing(2,3,2)); o1 : RingMap QQ[p ..p ] <--- QQ[p ..p ] 1,1,1 2,3,2 1,1 3,2 i2 : compactMatrixForm =false; i3 : transpose F.matrix o3 = {-1} | p + p | | 1,1,1 2,1,1 | | | {-1} | p + p | | 1,1,2 2,1,2 | | | {-1} | p + p | | 1,2,1 2,2,1 | | | {-1} | p + p | | 1,2,2 2,2,2 | | | {-1} | p + p | | 1,3,1 2,3,1 | | | {-1} | p + p | | 1,3,2 2,3,2 | 6 1 o3 : Matrix (QQ[p ..p ]) <--- (QQ[p ..p ]) 1,1,1 2,3,2 1,1,1 2,3,2

This method is frequently used when computing the vanishing ideal of a graphical model with hidden variables by computing the kernel of $F$. For more details see the paper Algebraic Geometry of Bayesian Networks'' by Garcia, Stillman, and Sturmfels.

 i4 : G = digraph {{1,{}},{2,{}},{3,{}},{4,{1,2,3}}} o4 = Digraph{1 => {} } 2 => {} 3 => {} 4 => {1, 2, 3} o4 : Digraph i5 : R = markovRing (2,2,3,2) o5 = R o5 : PolynomialRing i6 : I = discreteVanishingIdeal (R,G); o6 : Ideal of R i7 : I / print; p p - p p 1,2,3,2 2,2,3,1 1,2,3,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,2,2 1,2,2,2 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,1,2 1,2,1,2 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 2,2,2,2 2,2,3,1 2,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,3,1 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 2,2,1,2 2,2,3,1 2,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,1,2 2,2,3,1 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,2,2 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,2,2 1,2,3,1 1,2,2,1 1,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,3,1 p p - p p 1,2,3,1 2,2,1,2 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,1,2 1,2,3,1 1,2,1,1 1,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,3,1 p p - p p 1,2,2,2 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,1,2 1,2,1,2 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 2,2,1,2 2,2,2,1 2,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,1,2 2,2,2,1 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,1 2,2,1,2 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,1,2 1,2,2,1 1,2,1,1 1,2,2,2 p p - p p 1,2,2,1 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,2,1 p p - p p 1,2,1,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,1,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,3,1 1,1,3,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,2,2 1,1,2,2 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,1,2 1,1,1,2 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 2,1,2,2 2,1,3,1 2,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,3,1 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 2,1,1,2 2,1,3,1 2,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,1,2 2,1,3,1 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,2,2 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,2,2 1,1,3,1 1,1,2,1 1,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,3,1 p p - p p 1,1,3,1 2,1,1,2 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,1,2 1,1,3,1 1,1,1,1 1,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,3,1 p p - p p 1,1,2,2 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,1,2 1,1,1,2 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 2,1,1,2 2,1,2,1 2,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,1,2 2,1,2,1 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,1 2,1,1,2 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,1,2 1,1,2,1 1,1,1,1 1,1,2,2 p p - p p 1,1,2,1 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,2,1 p p - p p 1,1,1,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,1,2 i8 : S = markovRing(2,2,3) o8 = S o8 : PolynomialRing i9 : F = hiddenMap(4,R); o9 : RingMap R <--- S i10 : transpose F.matrix o10 = {-1} | p + p | | 1,1,1,1 1,1,1,2 | | | {-1} | p + p | | 1,1,2,1 1,1,2,2 | | | {-1} | p + p | | 1,1,3,1 1,1,3,2 | | | {-1} | p + p | | 1,2,1,1 1,2,1,2 | | | {-1} | p + p | | 1,2,2,1 1,2,2,2 | | | {-1} | p + p | | 1,2,3,1 1,2,3,2 | | | {-1} | p + p | | 2,1,1,1 2,1,1,2 | | | {-1} | p + p | | 2,1,2,1 2,1,2,2 | | | {-1} | p + p | | 2,1,3,1 2,1,3,2 | | | {-1} | p + p | | 2,2,1,1 2,2,1,2 | | | {-1} | p + p | | 2,2,2,1 2,2,2,2 | | | {-1} | p + p | | 2,2,3,1 2,2,3,2 | 12 1 o10 : Matrix R <--- R i11 : J = preimage (F, I); o11 : Ideal of S i12 : J / print; p p - p p 1,2,3 2,2,2 1,2,2 2,2,3 p p - p p 1,2,3 2,2,1 1,2,1 2,2,3 p p - p p 1,2,2 2,2,1 1,2,1 2,2,2 p p - p p 1,1,3 2,1,2 1,1,2 2,1,3 p p - p p 1,1,3 2,1,1 1,1,1 2,1,3 p p - p p 1,1,2 2,1,1 1,1,1 2,1,2