The ring $R$ is a ring of probability distributions on $n$ random variables created using markovRing. This method creates a ring map $F: S \to R$ from the ring $S$ of probability distributions on $n-1$ random variables, leaving out the $i$th random variable from $R$. This corresponds to the situation where the $i$th random variable is hidden and $S$ is the ring of observed probability distributions.
i1 : F = hiddenMap(1,markovRing(2,3,2));
o1 : RingMap QQ[p ..p ] <--- QQ[p ..p ]
1,1,1 2,3,2 1,1 3,2
|
i2 : compactMatrixForm =false; |
i3 : transpose F.matrix
o3 = {-1} | p + p |
| 1,1,1 2,1,1 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,1,2 2,1,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,2,1 2,2,1 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,2,2 2,2,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,3,1 2,3,1 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,3,2 2,3,2 |
6 1
o3 : Matrix (QQ[p ..p ]) <--- (QQ[p ..p ])
1,1,1 2,3,2 1,1,1 2,3,2
|
This method is frequently used when computing the vanishing ideal of a graphical model with hidden variables by computing the kernel of $F$. For more details see the paper ``Algebraic Geometry of Bayesian Networks'' by Garcia, Stillman, and Sturmfels.
i4 : G = digraph {{1,{}},{2,{}},{3,{}},{4,{1,2,3}}}
o4 = Digraph{1 => {} }
2 => {}
3 => {}
4 => {1, 2, 3}
o4 : Digraph
|
i5 : R = markovRing (2,2,3,2) o5 = R o5 : PolynomialRing |
i6 : I = discreteVanishingIdeal (R,G); o6 : Ideal of R |
i7 : I / print; p p - p p 1,2,3,2 2,2,3,1 1,2,3,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,2,2 1,2,2,2 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,1,2 1,2,1,2 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 2,2,2,2 2,2,3,1 2,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,3,1 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 2,2,1,2 2,2,3,1 2,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,1,2 2,2,3,1 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,2,2 1,2,2,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,2,2 1,2,3,1 1,2,2,1 1,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,3,1 p p - p p 1,2,3,1 2,2,1,2 1,2,1,1 2,2,3,2 p p - p p 1,2,1,2 1,2,3,1 1,2,1,1 1,2,3,2 p p - p p 1,2,3,1 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,3,1 p p - p p 1,2,2,2 2,2,2,1 1,2,2,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,1,2 1,2,1,2 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 2,2,1,2 2,2,2,1 2,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,1,2 2,2,2,1 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,2,1 2,2,1,2 1,2,1,1 2,2,2,2 p p - p p 1,2,1,2 1,2,2,1 1,2,1,1 1,2,2,2 p p - p p 1,2,2,1 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,2,1 p p - p p 1,2,1,2 2,2,1,1 1,2,1,1 2,2,1,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,3,1 1,1,3,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,2,2 1,1,2,2 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,1,2 1,1,1,2 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 2,1,2,2 2,1,3,1 2,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,3,1 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 2,1,1,2 2,1,3,1 2,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,1,2 2,1,3,1 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,2,2 1,1,2,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,2,2 1,1,3,1 1,1,2,1 1,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,3,1 p p - p p 1,1,3,1 2,1,1,2 1,1,1,1 2,1,3,2 p p - p p 1,1,1,2 1,1,3,1 1,1,1,1 1,1,3,2 p p - p p 1,1,3,1 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,3,1 p p - p p 1,1,2,2 2,1,2,1 1,1,2,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,1,2 1,1,1,2 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 2,1,1,2 2,1,2,1 2,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,1,2 2,1,2,1 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,2,1 2,1,1,2 1,1,1,1 2,1,2,2 p p - p p 1,1,1,2 1,1,2,1 1,1,1,1 1,1,2,2 p p - p p 1,1,2,1 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,2,1 p p - p p 1,1,1,2 2,1,1,1 1,1,1,1 2,1,1,2 |
i8 : S = markovRing(2,2,3) o8 = S o8 : PolynomialRing |
i9 : F = hiddenMap(4,R); o9 : RingMap R <--- S |
i10 : transpose F.matrix
o10 = {-1} | p + p |
| 1,1,1,1 1,1,1,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,1,2,1 1,1,2,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,1,3,1 1,1,3,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,2,1,1 1,2,1,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,2,2,1 1,2,2,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 1,2,3,1 1,2,3,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,1,1,1 2,1,1,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,1,2,1 2,1,2,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,1,3,1 2,1,3,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,2,1,1 2,2,1,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,2,2,1 2,2,2,2 |
| |
{-1} | p + p |
| 2,2,3,1 2,2,3,2 |
12 1
o10 : Matrix R <--- R
|
i11 : J = preimage (F, I); o11 : Ideal of S |
i12 : J / print; p p - p p 1,2,3 2,2,2 1,2,2 2,2,3 p p - p p 1,2,3 2,2,1 1,2,1 2,2,3 p p - p p 1,2,2 2,2,1 1,2,1 2,2,2 p p - p p 1,1,3 2,1,2 1,1,2 2,1,3 p p - p p 1,1,3 2,1,1 1,1,1 2,1,3 p p - p p 1,1,2 2,1,1 1,1,1 2,1,2 |
The object hiddenMap is a method function.