We can make a filtered complex from a nested list of simplicial complexes:
i1 : A = QQ[x,y,z,w]; |
i2 : F2D = simplicialComplex {x*y*z, w*z};
|
i3 : F1D = simplicialComplex {x*y, w};
|
i4 : F0D = simplicialComplex {x,w};
|
i5 : K = filteredComplex{F2D, F1D, F0D}
o5 = -1 : image 0 <-- image 0 <-- image 0 <-- image 0
-1 0 1 2
0 : image | 1 | <-- image | 1 0 | <-- image 0 <-- image 0
| 0 0 |
-1 | 0 0 | 1 2
| 0 1 |
0
1 : image | 1 | <-- image | 1 0 0 | <-- image | 1 | <-- image 0
| 0 1 0 | | 0 |
-1 | 0 0 0 | | 0 | 2
| 0 0 1 | | 0 |
0 1
1 4 4 1
2 : QQ <-- QQ <-- QQ <-- QQ
-1 0 1 2
o5 : FilteredComplex
|
The resulting spectral sequence takes the form:
i6 : E = prune spectralSequence K; |
i7 : E^0
+-------+-------+-------+
| 2 | 1 | 1 |
o7 = |QQ |QQ |QQ |
| | | |
|{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} |
+-------+-------+-------+
| 1 | 1 | 3 |
|QQ |QQ |QQ |
| | | |
|{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}|
+-------+-------+-------+
| | | 1 |
|0 |0 |QQ |
| | | |
|{0, -2}|{1, -2}|{2, -2}|
+-------+-------+-------+
o7 : SpectralSequencePage
|
i8 : E^0 .dd
o8 = {-1, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{2, -4} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
1
{2, -3} : 0 <----- QQ : {2, -2}
0
1 3
{2, -2} : QQ <--------------- QQ : {2, -1}
| -1 -1 1 |
3 1
{2, -1} : QQ <---------- QQ : {2, 0}
| 1 |
| -1 |
| 0 |
{1, -3} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
1
{1, -2} : 0 <----- QQ : {1, -1}
0
1 1
{1, -1} : QQ <---------- QQ : {1, 0}
| -1 |
1
{1, 0} : QQ <----- 0 : {1, 1}
0
1
{0, -2} : 0 <----- QQ : {0, -1}
0
1 2
{0, -1} : QQ <------------- QQ : {0, 0}
| -1 -1 |
2
{0, 0} : QQ <----- 0 : {0, 1}
0
{0, 1} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o8 : SpectralSequencePageMap
|
i9 : E^1
+-------+-------+-------+
| 1 | | |
o9 = |QQ |0 |0 |
| | | |
|{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} |
+-------+-------+-------+
| | | 1 |
|0 |0 |QQ |
| | | |
|{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}|
+-------+-------+-------+
o9 : SpectralSequencePage
|
i10 : E^1 .dd
o10 = {-2, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-2, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-2, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{1, -3} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
{1, -2} : 0 <----- 0 : {2, -2}
0
1
{1, -1} : 0 <----- QQ : {2, -1}
0
{1, 0} : 0 <----- 0 : {2, 0}
0
{0, -2} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
{0, -1} : 0 <----- 0 : {1, -1}
0
1
{0, 0} : QQ <----- 0 : {1, 0}
0
{0, 1} : 0 <----- 0 : {1, 1}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {0, -1}
0
1
{-1, 0} : 0 <----- QQ : {0, 0}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {0, 1}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-2, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o10 : SpectralSequencePageMap
|
i11 : E^2
+-------+-------+-------+
| 1 | | |
o11 = |QQ |0 |0 |
| | | |
|{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} |
+-------+-------+-------+
| | | 1 |
|0 |0 |QQ |
| | | |
|{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}|
+-------+-------+-------+
o11 : SpectralSequencePage
|
i12 : E^2 .dd
o12 = {-3, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-3, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-3, 4} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{0, -2} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
{0, -1} : 0 <----- 0 : {2, -2}
0
1 1
{0, 0} : QQ <---------- QQ : {2, -1}
| -1 |
{0, 1} : 0 <----- 0 : {2, 0}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
{-1, 0} : 0 <----- 0 : {1, -1}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {1, 0}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {1, 1}
0
{-2, 0} : 0 <----- 0 : {0, -1}
0
1
{-2, 1} : 0 <----- QQ : {0, 0}
0
{-2, 2} : 0 <----- 0 : {0, 1}
0
{-2, 3} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-3, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o12 : SpectralSequencePageMap
|
i13 : E^infinity
o13 = ++
++
o13 : Page
|
If we want the homology of the complex to be the non-reduced homology of the simpicial complex we set the ReducedHomology option to false:
i14 : k = filteredComplex({F2D, F1D, F0D}, ReducedHomology => false)
o14 = -1 : image 0 <-- image 0 <-- image 0 <-- image 0
-1 0 1 2
0 : image 0 <-- image | 1 0 | <-- image 0 <-- image 0
| 0 0 |
-1 | 0 0 | 1 2
| 0 1 |
0
1 : image 0 <-- image | 1 0 0 | <-- image | 1 | <-- image 0
| 0 1 0 | | 0 |
-1 | 0 0 0 | | 0 | 2
| 0 0 1 | | 0 |
0 1
4 4 1
2 : image 0 <-- QQ <-- QQ <-- QQ
-1 0 1 2
o14 : FilteredComplex
|
The resulting spectral sequence takes the form:
i15 : e = prune spectralSequence k; |
i16 : e^0
+-------+-------+-------+
| 2 | 1 | 1 |
o16 = |QQ |QQ |QQ |
| | | |
|{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} |
+-------+-------+-------+
| | 1 | 3 |
|0 |QQ |QQ |
| | | |
|{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}|
+-------+-------+-------+
| | | 1 |
|0 |0 |QQ |
| | | |
|{0, -2}|{1, -2}|{2, -2}|
+-------+-------+-------+
o16 : SpectralSequencePage
|
i17 : e^0 .dd
o17 = {-1, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{2, -4} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
1
{2, -3} : 0 <----- QQ : {2, -2}
0
1 3
{2, -2} : QQ <--------------- QQ : {2, -1}
| -1 -1 1 |
3 1
{2, -1} : QQ <---------- QQ : {2, 0}
| 1 |
| -1 |
| 0 |
{1, -3} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
1
{1, -2} : 0 <----- QQ : {1, -1}
0
1 1
{1, -1} : QQ <---------- QQ : {1, 0}
| -1 |
1
{1, 0} : QQ <----- 0 : {1, 1}
0
{0, -2} : 0 <----- 0 : {0, -1}
0
2
{0, -1} : 0 <----- QQ : {0, 0}
0
2
{0, 0} : QQ <----- 0 : {0, 1}
0
{0, 1} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o17 : SpectralSequencePageMap
|
i18 : e^1 .dd
o18 = {-2, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-2, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-2, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{1, -3} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
{1, -2} : 0 <----- 0 : {2, -2}
0
1
{1, -1} : 0 <----- QQ : {2, -1}
0
{1, 0} : 0 <----- 0 : {2, 0}
0
{0, -2} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
{0, -1} : 0 <----- 0 : {1, -1}
0
2
{0, 0} : QQ <----- 0 : {1, 0}
0
{0, 1} : 0 <----- 0 : {1, 1}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {0, -1}
0
2
{-1, 0} : 0 <----- QQ : {0, 0}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {0, 1}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-2, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o18 : SpectralSequencePageMap
|
i19 : e^2
+-------+-------+-------+
| 2 | | |
o19 = |QQ |0 |0 |
| | | |
|{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} |
+-------+-------+-------+
| | | 1 |
|0 |0 |QQ |
| | | |
|{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}|
+-------+-------+-------+
o19 : SpectralSequencePage
|
i20 : e^2 .dd
o20 = {-3, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 1}
0
{-3, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 2}
0
{-3, 4} : 0 <----- 0 : {-1, 3}
0
{0, -2} : 0 <----- 0 : {2, -3}
0
{0, -1} : 0 <----- 0 : {2, -2}
0
2 1
{0, 0} : QQ <---------- QQ : {2, -1}
| 1 |
| -1 |
{0, 1} : 0 <----- 0 : {2, 0}
0
{-1, -1} : 0 <----- 0 : {1, -2}
0
{-1, 0} : 0 <----- 0 : {1, -1}
0
{-1, 1} : 0 <----- 0 : {1, 0}
0
{-1, 2} : 0 <----- 0 : {1, 1}
0
{-2, 0} : 0 <----- 0 : {0, -1}
0
2
{-2, 1} : 0 <----- QQ : {0, 0}
0
{-2, 2} : 0 <----- 0 : {0, 1}
0
{-2, 3} : 0 <----- 0 : {0, 2}
0
{-3, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 0}
0
o20 : SpectralSequencePageMap
|
i21 : e^infinity
+------+
| 1 |
o21 = |QQ |
| |
|{0, 0}|
+------+
o21 : Page
|