Grassmannian(ZZ,ZZ) -- the Grassmannian of linear subspaces of a vector space

Synopsis

Function: Grassmannian
Usage:

Grassmannian(k,r)

Grassmannian(k,r,R)
Inputs:
- k, an integer
- r, an integer
Optional inputs:
- CoefficientRing => a ring, default value ZZ, the coefficient ring for the polynomial ring to be made
- Variable => a symbol, default value "p", the base symbol for the indexed variables to be used. The subscripts are the elements of subsets(n+1,k+1), converted to sequences and, if k is 0, converted to integers.
Outputs:
- an ideal, the ideal of the Grassmannian variety of all projective k-planes in P^r

Description

If a polynomial ring R is given as the third argument, then the resulting ideal is moved to that ring.

i1 : Grassmannian(1,3)

o1 = ideal(p   p    - p   p    + p   p   )
            1,2 0,3    0,2 1,3    0,1 2,3

o1 : Ideal of ZZ[p   ..p   , p   , p   , p   , p   ]
                  0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3

i2 : J = Grassmannian(2,5, CoefficientRing => ZZ/31, Variable => T) 

o2 = ideal (T     T      - T     T      + T     T     , T     T      -
             2,3,5 1,4,5    1,3,5 2,4,5    1,2,5 3,4,5   2,3,4 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     ,
      1,3,4 2,4,5    1,2,4 3,4,5   2,3,5 0,4,5    0,3,5 2,4,5    0,2,5 3,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T     , T     T      - T     T     
      1,3,5 0,4,5    0,3,5 1,4,5    0,1,5 3,4,5   1,2,5 0,4,5    0,2,5 1,4,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     , T     T     
        0,1,5 2,4,5   2,3,4 0,4,5    0,3,4 2,4,5    0,2,4 3,4,5   1,3,4 0,4,5
     ------------------------------------------------------------------------
     - T     T      + T     T     , T     T      - T     T      +
        0,3,4 1,4,5    0,1,4 3,4,5   1,2,4 0,4,5    0,2,4 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T     , T     T      - T     T      + T     T      - T     T     ,
      0,1,4 2,4,5   1,2,3 0,4,5    0,2,3 1,4,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T     , T     T      - T     T     
      2,3,4 1,3,5    1,3,4 2,3,5    1,2,3 3,4,5   1,2,5 0,3,5    0,2,5 1,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     , T     T     
        0,1,5 2,3,5   2,3,4 0,3,5    0,3,4 2,3,5    0,2,3 3,4,5   1,3,4 0,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     - T     T      + T     T     , T     T      - T     T      +
        0,3,4 1,3,5    0,1,3 3,4,5   1,2,4 0,3,5    0,2,4 1,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     ,
      0,1,4 2,3,5    0,1,2 3,4,5   1,2,3 0,3,5    0,2,3 1,3,5    0,1,3 2,3,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T     , T     T      - T     T     
      2,3,4 1,2,5    1,2,4 2,3,5    1,2,3 2,4,5   1,3,4 1,2,5    1,2,4 1,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + T     T     , T     T      - T     T      + T     T      +
        1,2,3 1,4,5   0,3,4 1,2,5    0,2,4 1,3,5    0,1,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T     , T     T      - T     T     
      0,2,3 1,4,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   2,3,4 0,2,5    0,2,4 2,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + T     T     , T     T      - T     T      + T     T      +
        0,2,3 2,4,5   1,3,4 0,2,5    0,2,4 1,3,5    0,2,3 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T     , T     T      - T     T      + T     T     , T     T      -
      0,1,2 3,4,5   0,3,4 0,2,5    0,2,4 0,3,5    0,2,3 0,4,5   1,2,4 0,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     ,
      0,2,4 1,2,5    0,1,2 2,4,5   1,2,3 0,2,5    0,2,3 1,2,5    0,1,2 2,3,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T      - T     T     , T     T     
      2,3,4 0,1,5    0,1,4 2,3,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   1,3,4 0,1,5
     ------------------------------------------------------------------------
     - T     T      + T     T     , T     T      - T     T      +
        0,1,4 1,3,5    0,1,3 1,4,5   0,3,4 0,1,5    0,1,4 0,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T     , T     T      - T     T      + T     T     , T     T      -
      0,1,3 0,4,5   1,2,4 0,1,5    0,1,4 1,2,5    0,1,2 1,4,5   0,2,4 0,1,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     ,
      0,1,4 0,2,5    0,1,2 0,4,5   1,2,3 0,1,5    0,1,3 1,2,5    0,1,2 1,3,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T      - T     T      + T     T     , T     T      - T     T     
      0,2,3 0,1,5    0,1,3 0,2,5    0,1,2 0,3,5   1,2,4 0,3,4    0,2,4 1,3,4
     ------------------------------------------------------------------------
     + T     T     , T     T      - T     T      + T     T     , T     T     
        0,1,4 2,3,4   1,2,3 0,3,4    0,2,3 1,3,4    0,1,3 2,3,4   1,2,3 0,2,4
     ------------------------------------------------------------------------
     - T     T      + T     T     , T     T      - T     T      +
        0,2,3 1,2,4    0,1,2 2,3,4   1,2,3 0,1,4    0,1,3 1,2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     T     T     , T     T      - T     T      + T     T     )
      0,1,2 1,3,4   0,2,3 0,1,4    0,1,3 0,2,4    0,1,2 0,3,4

              ZZ
o2 : Ideal of --[T     ..T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     ]
              31  0,1,2   0,1,3   0,2,3   1,2,3   0,1,4   0,2,4   1,2,4   0,3,4   1,3,4   2,3,4   0,1,5   0,2,5   1,2,5   0,3,5   1,3,5   2,3,5   0,4,5   1,4,5   2,4,5   3,4,5

The variables of the ring are based on the symbol provided, but assignments are not made until the ring or the ideal is assigned to a global variable or is submitted to use, as follows.

i3 : T_(0,2,3)

o3 = T
      0,2,3

o3 : IndexedVariable

i4 : use ring J

     ZZ
o4 = --[T     ..T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     ]
     31  0,1,2   0,1,3   0,2,3   1,2,3   0,1,4   0,2,4   1,2,4   0,3,4   1,3,4   2,3,4   0,1,5   0,2,5   1,2,5   0,3,5   1,3,5   2,3,5   0,4,5   1,4,5   2,4,5   3,4,5

o4 : PolynomialRing

i5 : T_(0,2,3)

o5 = T
      0,2,3

     ZZ
o5 : --[T     ..T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     , T     ]
     31  0,1,2   0,1,3   0,2,3   1,2,3   0,1,4   0,2,4   1,2,4   0,3,4   1,3,4   2,3,4   0,1,5   0,2,5   1,2,5   0,3,5   1,3,5   2,3,5   0,4,5   1,4,5   2,4,5   3,4,5

In many ways, more natural than returning an ideal would be to return the corresponding quotient ring or variety, but creating a quotient ring involves computing a Gröbner basis, which might impose a heavy computational burden that the user would prefer to avoid.

Ways to use this method: