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Packages » MatrixSchubert :: Investigating matrix Schubert varieties
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Investigating matrix Schubert varieties -- basic functions for Schubert determinantal ideals

Matrix Schubert varieties were introduced by Fulton [Ful92] in the study of Schubert varieties in the complete flag variety. Their defining ideals are called Schubert determinantal ideals.

The general method for creating a Schubert determinantal Ideal is schubertDeterminantalIdeal. The input is a permutation in the form of a list. This package contains functions for investigating the rank matrix, the Rothe diagram, and the essential cells of the Rothe diagram as defined by Fulton in [Ful92].

i1 : p = {2,1,6,3,5,4};
 
i2 : rotheDiagram p

o2 = {(1, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 4)}

o2 : List
 
i3 : essentialSet p

o3 = {(1, 1), (3, 5), (5, 4)}

o3 : List
 
i4 : rankTable p

o4 = | 0 1 1 1 1 1 |
     | 1 2 2 2 2 2 |
     | 1 2 2 2 2 3 |
     | 1 2 3 3 3 4 |
     | 1 2 3 3 4 5 |
     | 1 2 3 4 5 6 |

              6       6
o4 : Matrix ZZ  <-- ZZ
 
i5 : netList fultonGens p

     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
o5 = |z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    |
     | 1,1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,3 2,2 3,1    1,2 2,3 3,1    1,3 2,1 3,2    1,1 2,3 3,2    1,2 2,1 3,3    1,1 2,2 3,3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,4 2,2 3,1    1,2 2,4 3,1    1,4 2,1 3,2    1,1 2,4 3,2    1,2 2,1 3,4    1,1 2,2 3,4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,4 2,3 3,1    1,3 2,4 3,1    1,4 2,1 3,3    1,1 2,4 3,3    1,3 2,1 3,4    1,1 2,3 3,4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,4 2,3 3,2    1,3 2,4 3,2    1,4 2,2 3,3    1,2 2,4 3,3    1,3 2,2 3,4    1,2 2,3 3,4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,2 3,1    1,2 2,5 3,1    1,5 2,1 3,2    1,1 2,5 3,2    1,2 2,1 3,5    1,1 2,2 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,3 3,1    1,3 2,5 3,1    1,5 2,1 3,3    1,1 2,5 3,3    1,3 2,1 3,5    1,1 2,3 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,3 3,2    1,3 2,5 3,2    1,5 2,2 3,3    1,2 2,5 3,3    1,3 2,2 3,5    1,2 2,3 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,4 3,1    1,4 2,5 3,1    1,5 2,1 3,4    1,1 2,5 3,4    1,4 2,1 3,5    1,1 2,4 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,4 3,2    1,4 2,5 3,2    1,5 2,2 3,4    1,2 2,5 3,4    1,4 2,2 3,5    1,2 2,4 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |- z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               |
     |   1,5 2,4 3,3    1,4 2,5 3,3    1,5 2,3 3,4    1,3 2,5 3,4    1,4 2,3 3,5    1,3 2,4 3,5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            |
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   |
     | 1,4 2,3 3,2 4,1    1,3 2,4 3,2 4,1    1,4 2,2 3,3 4,1    1,2 2,4 3,3 4,1    1,3 2,2 3,4 4,1    1,2 2,3 3,4 4,1    1,4 2,3 3,1 4,2    1,3 2,4 3,1 4,2    1,4 2,1 3,3 4,2    1,1 2,4 3,3 4,2    1,3 2,1 3,4 4,2    1,1 2,3 3,4 4,2    1,4 2,2 3,1 4,3    1,2 2,4 3,1 4,3    1,4 2,1 3,2 4,3    1,1 2,4 3,2 4,3    1,2 2,1 3,4 4,3    1,1 2,2 3,4 4,3    1,3 2,2 3,1 4,4    1,2 2,3 3,1 4,4    1,3 2,1 3,2 4,4    1,1 2,3 3,2 4,4    1,2 2,1 3,3 4,4    1,1 2,2 3,3 4,4|
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   |
     | 1,4 2,3 3,2 5,1    1,3 2,4 3,2 5,1    1,4 2,2 3,3 5,1    1,2 2,4 3,3 5,1    1,3 2,2 3,4 5,1    1,2 2,3 3,4 5,1    1,4 2,3 3,1 5,2    1,3 2,4 3,1 5,2    1,4 2,1 3,3 5,2    1,1 2,4 3,3 5,2    1,3 2,1 3,4 5,2    1,1 2,3 3,4 5,2    1,4 2,2 3,1 5,3    1,2 2,4 3,1 5,3    1,4 2,1 3,2 5,3    1,1 2,4 3,2 5,3    1,2 2,1 3,4 5,3    1,1 2,2 3,4 5,3    1,3 2,2 3,1 5,4    1,2 2,3 3,1 5,4    1,3 2,1 3,2 5,4    1,1 2,3 3,2 5,4    1,2 2,1 3,3 5,4    1,1 2,2 3,3 5,4|
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   |
     | 1,4 2,3 4,2 5,1    1,3 2,4 4,2 5,1    1,4 2,2 4,3 5,1    1,2 2,4 4,3 5,1    1,3 2,2 4,4 5,1    1,2 2,3 4,4 5,1    1,4 2,3 4,1 5,2    1,3 2,4 4,1 5,2    1,4 2,1 4,3 5,2    1,1 2,4 4,3 5,2    1,3 2,1 4,4 5,2    1,1 2,3 4,4 5,2    1,4 2,2 4,1 5,3    1,2 2,4 4,1 5,3    1,4 2,1 4,2 5,3    1,1 2,4 4,2 5,3    1,2 2,1 4,4 5,3    1,1 2,2 4,4 5,3    1,3 2,2 4,1 5,4    1,2 2,3 4,1 5,4    1,3 2,1 4,2 5,4    1,1 2,3 4,2 5,4    1,2 2,1 4,3 5,4    1,1 2,2 4,3 5,4|
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   |
     | 1,4 3,3 4,2 5,1    1,3 3,4 4,2 5,1    1,4 3,2 4,3 5,1    1,2 3,4 4,3 5,1    1,3 3,2 4,4 5,1    1,2 3,3 4,4 5,1    1,4 3,3 4,1 5,2    1,3 3,4 4,1 5,2    1,4 3,1 4,3 5,2    1,1 3,4 4,3 5,2    1,3 3,1 4,4 5,2    1,1 3,3 4,4 5,2    1,4 3,2 4,1 5,3    1,2 3,4 4,1 5,3    1,4 3,1 4,2 5,3    1,1 3,4 4,2 5,3    1,2 3,1 4,4 5,3    1,1 3,2 4,4 5,3    1,3 3,2 4,1 5,4    1,2 3,3 4,1 5,4    1,3 3,1 4,2 5,4    1,1 3,3 4,2 5,4    1,2 3,1 4,3 5,4    1,1 3,2 4,3 5,4|
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
     |z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   |
     | 2,4 3,3 4,2 5,1    2,3 3,4 4,2 5,1    2,4 3,2 4,3 5,1    2,2 3,4 4,3 5,1    2,3 3,2 4,4 5,1    2,2 3,3 4,4 5,1    2,4 3,3 4,1 5,2    2,3 3,4 4,1 5,2    2,4 3,1 4,3 5,2    2,1 3,4 4,3 5,2    2,3 3,1 4,4 5,2    2,1 3,3 4,4 5,2    2,4 3,2 4,1 5,3    2,2 3,4 4,1 5,3    2,4 3,1 4,2 5,3    2,1 3,4 4,2 5,3    2,2 3,1 4,4 5,3    2,1 3,2 4,4 5,3    2,3 3,2 4,1 5,4    2,2 3,3 4,1 5,4    2,3 3,1 4,2 5,4    2,1 3,3 4,2 5,4    2,2 3,1 4,3 5,4    2,1 3,2 4,3 5,4|
     +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+

The default presentation given by schubertDeterminantalIdeal is given by the Fulton generators of the ideal. In order to access a minimal generating set, use trim.

i6 : I = schubertDeterminantalIdeal p;

o6 : Ideal of QQ[z   ..z   ]
                  1,1   6,6
 
i7 : # (I_*)

o7 = 16
 
i8 : # ((trim I)_*)

o8 = 14

After creating a Schubert determinantal ideal, the permutation associated to it is stored in its cache table.

i9 : peek I.cache

o9 = CacheTable{ASM => | 0 1 0 0 0 0 |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               }
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                trim => (OptionTable{Strategy => null}) => ideal (z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z   , z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z   , z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z    + z   z   z   z    + z   z   z   z    - z   z   z   z   )
                                                                   1,1   1,5 2,4 3,3    1,4 2,5 3,3    1,5 2,3 3,4    1,3 2,5 3,4    1,4 2,3 3,5    1,3 2,4 3,5   1,5 2,4 3,2    1,4 2,5 3,2    1,5 2,2 3,4    1,2 2,5 3,4    1,4 2,2 3,5    1,2 2,4 3,5   1,5 2,3 3,2    1,3 2,5 3,2    1,5 2,2 3,3    1,2 2,5 3,3    1,3 2,2 3,5    1,2 2,3 3,5   1,4 2,3 3,2    1,3 2,4 3,2    1,4 2,2 3,3    1,2 2,4 3,3    1,3 2,2 3,4    1,2 2,3 3,4   1,5 2,4 3,1    1,4 2,5 3,1    1,5 2,1 3,4    1,4 2,1 3,5   1,5 2,3 3,1    1,3 2,5 3,1    1,5 2,1 3,3    1,3 2,1 3,5   1,4 2,3 3,1    1,3 2,4 3,1    1,4 2,1 3,3    1,3 2,1 3,4   1,5 2,2 3,1    1,2 2,5 3,1    1,5 2,1 3,2    1,2 2,1 3,5   1,4 2,2 3,1    1,2 2,4 3,1    1,4 2,1 3,2    1,2 2,1 3,4   1,3 2,2 3,1    1,2 2,3 3,1    1,3 2,1 3,2    1,2 2,1 3,3   2,4 3,3 4,2 5,1    2,3 3,4 4,2 5,1    2,4 3,2 4,3 5,1    2,2 3,4 4,3 5,1    2,3 3,2 4,4 5,1    2,2 3,3 4,4 5,1    2,4 3,3 4,1 5,2    2,3 3,4 4,1 5,2    2,4 3,1 4,3 5,2    2,1 3,4 4,3 5,2    2,3 3,1 4,4 5,2    2,1 3,3 4,4 5,2    2,4 3,2 4,1 5,3    2,2 3,4 4,1 5,3    2,4 3,1 4,2 5,3    2,1 3,4 4,2 5,3    2,2 3,1 4,4 5,3    2,1 3,2 4,4 5,3    2,3 3,2 4,1 5,4    2,2 3,3 4,1 5,4    2,3 3,1 4,2 5,4    2,1 3,3 4,2 5,4    2,2 3,1 4,3 5,4    2,1 3,2 4,3 5,4   1,4 3,3 4,2 5,1    1,3 3,4 4,2 5,1    1,4 3,2 4,3 5,1    1,2 3,4 4,3 5,1    1,3 3,2 4,4 5,1    1,2 3,3 4,4 5,1    1,4 3,3 4,1 5,2    1,3 3,4 4,1 5,2    1,4 3,1 4,3 5,2    1,3 3,1 4,4 5,2    1,4 3,2 4,1 5,3    1,2 3,4 4,1 5,3    1,4 3,1 4,2 5,3    1,2 3,1 4,4 5,3    1,3 3,2 4,1 5,4    1,2 3,3 4,1 5,4    1,3 3,1 4,2 5,4    1,2 3,1 4,3 5,4   1,4 2,3 4,2 5,1    1,3 2,4 4,2 5,1    1,4 2,2 4,3 5,1    1,2 2,4 4,3 5,1    1,3 2,2 4,4 5,1    1,2 2,3 4,4 5,1    1,4 2,3 4,1 5,2    1,3 2,4 4,1 5,2    1,4 2,1 4,3 5,2    1,3 2,1 4,4 5,2    1,4 2,2 4,1 5,3    1,2 2,4 4,1 5,3    1,4 2,1 4,2 5,3    1,2 2,1 4,4 5,3    1,3 2,2 4,1 5,4    1,2 2,3 4,1 5,4    1,3 2,1 4,2 5,4    1,2 2,1 4,3 5,4

This package also contains methods for investigating antidiagonal initial ideals of Schubert determinantal ideals and their associated Stanley-Reisner complexes, which are a kind of subword complex. Subword complexes were introduced in [KM05] in the study of antidiagonal initial ideal of Schubert determinantal ideals and their relation to Schubert polynomials.

i10 : antiDiagInit p

o10 = monomialIdeal (z   , z   z   z   , z   z   z   , z   z   z   ,
                      1,1   1,3 2,2 3,1   1,4 2,2 3,1   1,5 2,2 3,1 
      -----------------------------------------------------------------------
      z   z   z   , z   z   z   , z   z   z   , z   z   z   , z   z   z   ,
       1,4 2,3 3,1   1,5 2,3 3,1   1,5 2,4 3,1   1,4 2,3 3,2   1,5 2,3 3,2 
      -----------------------------------------------------------------------
      z   z   z   , z   z   z   , z   z   z   z   , z   z   z   z   ,
       1,5 2,4 3,2   1,5 2,4 3,3   1,4 2,3 4,2 5,1   1,4 3,3 4,2 5,1 
      -----------------------------------------------------------------------
      z   z   z   z   )
       2,4 3,3 4,2 5,1

o10 : MonomialIdeal of QQ[z   ..z   ]
                           1,1   6,6
 
i11 : subwordComplex p

o11 = simplicialComplex | z_(1,2)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,2)z_(2,3)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,1)z_(3,2)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,1)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) z_(1,2)z_(1,3)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,3)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,1)z_(3,2)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,1)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) z_(1,2)z_(1,3)z_(1,5)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,1)z_(3,2)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,1)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) z_(1,2)z_(1,3)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,2)z_(2,3)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,2)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,1)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) 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z_(1,2)z_(1,3)z_(1,4)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,2)z_(2,3)z_(2,4)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) z_(1,2)z_(1,3)z_(1,4)z_(1,5)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,2)z_(2,3)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,3)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) z_(1,2)z_(1,3)z_(1,4)z_(1,5)z_(1,6)z_(2,1)z_(2,2)z_(2,3)z_(2,4)z_(2,5)z_(2,6)z_(3,4)z_(3,5)z_(3,6)z_(4,1)z_(4,2)z_(4,3)z_(4,4)z_(4,5)z_(4,6)z_(5,2)z_(5,3)z_(5,4)z_(5,5)z_(5,6)z_(6,1)z_(6,2)z_(6,3)z_(6,4)z_(6,5)z_(6,6) |

o11 : SimplicialComplex

Given a list of permutations, this package also contains functions for intersecting and adding the Schubert determinantal ideals associated to the list of permutations.

i12 : L = {{3,1,5,4,2},{2,5,3,4,1}} -- a list of 2 permutations

o12 = {{3, 1, 5, 4, 2}, {2, 5, 3, 4, 1}}

o12 : List
 
i13 : schubertAdd L

o13 = ideal (z   , z   , - z   z    + z   z   , - z   z    + z   z   , -
              1,1   1,2     1,2 2,1    1,1 2,2     1,3 2,1    1,1 2,3   
      -----------------------------------------------------------------------
      z   z    + z   z   , - z   z    + z   z   , - z   z    + z   z   , -
       1,3 2,2    1,2 2,3     1,4 2,1    1,1 2,4     1,4 2,2    1,2 2,4   
      -----------------------------------------------------------------------
      z   z    + z   z   , z   , z   , z   )
       1,4 2,3    1,3 2,4   2,1   3,1   4,1

o13 : Ideal of QQ[z   ..z   ]
                   1,1   5,5
 
i14 : schubertIntersect L

                                                                      
o14 = ideal (z   , z   z    - z   z   , z   z    - z   z   , z   z   ,
              1,1   3,2 4,1    3,1 4,2   2,2 4,1    2,1 4,2   1,2 4,1 
      -----------------------------------------------------------------------
                                                                            
      z   z    - z   z   , z   z   , z   z   , z   z   z    - z   z   z    -
       2,2 3,1    2,1 3,2   1,2 3,1   1,2 2,1   1,4 2,3 3,2    1,3 2,4 3,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                                                                             
      z   z   z    + z   z   z    + z   z   z    - z   z   z   , z   z   z   
       1,4 2,2 3,3    1,2 2,4 3,3    1,3 2,2 3,4    1,2 2,3 3,4   1,4 2,3 3,1
      -----------------------------------------------------------------------
                                                                  
      - z   z   z    - z   z   z    + z   z   z   , z   z   z    -
         1,3 2,4 3,1    1,4 2,1 3,3    1,3 2,1 3,4   1,2 1,4 2,3  
      -----------------------------------------------------------------------
                                    2                        2
      z   z   z   , z   z   z    - z   z   , z   z   z    - z   z   )
       1,2 1,3 2,4   1,2 1,4 2,2    1,2 2,4   1,2 1,3 2,2    1,2 2,3

o14 : Ideal of QQ[z   ..z   ]
                   1,1   5,5

Finally, this package contains functions for investigating homological invariants of matrix Schubert varieties efficiently through combinatorial algorithms produced in [PSW21].

i15 : time schubertRegularity p
 -- used 0.00292221s (cpu); 0.000510211s (thread); 0s (gc)

o15 = 5
 
i16 : time regularity comodule I
 -- used 0.0285701s (cpu); 0.0308092s (thread); 0s (gc)

o16 = 5

Functions for investigating matrix Schubert varieties

  • antiDiagInit(List) -- compute the (unique) antidiagonal initial ideal of an ASM ideal
  • rankTable(List) -- compute a table of rank conditions that determines a Schubert determinantal ideal or, more generally, an alternating sign matrix ideal.
  • rotheDiagram(List) -- find the Rothe diagram of a partial alternating sign matrix
  • augmentedRotheDiagram(List) -- find the Rothe diagram of a partial alternating sign matrix together with the rank table determining the alternating sign matrix variety
  • essentialSet(List) -- compute the essential set in the Rothe Diagram for a partial alternating sign matrix or a permutation.
  • augmentedEssentialSet(List) -- find the essential set of a partial alternating sign matrix or a permutation together with the rank conditions determining the alternating sign matrix variety
  • schubertDeterminantalIdeal(List) -- compute an alternating sign matrix ideal (for example, a Schubert determinantal ideal)
  • fultonGens(List) -- compute the Fulton generators of an ASM ideal (for example, a Schubert determinantal ideal)
  • subwordComplex(List) -- to find the subword complex associated to w
  • schubertIntersect(List) -- compute the intersection of ASM ideals
  • schubertAdd(List) -- compute the sum of ASM ideals
  • schubertRegularity(List) -- compute the Castelnuovo-Mumford regularity of the quotient by a Schubert determinantal ideal or ASM ideal
  • schubertCodim(List) -- compute the codimension (i.e., height) of a Schubert determinantal ideal or ASM ideal