doubleSchubertPolynomial -- computes the double Schubert polynomial of a permutation

i1 : w = {2,1,5,4,3}

o1 = {2, 1, 5, 4, 3}

o1 : List

i2 : doubleSchubertPolynomial w

      3      2 2    3       2          2      2 2        2    3      2      
o2 = x x  + x x  + x x  + 2x x x  + x x x  + x x  + x x x  + x x  + x x x  +
      1 2    1 2    1 3     1 2 3    1 2 3    1 3    1 2 3    1 4    1 2 4  
     ------------------------------------------------------------------------
        2      2                     2      3       2           2       2    
     x x x  + x x x  + x x x x  + x x x  - x y  - 3x x y  - 2x x y  - 3x x y 
      1 2 4    1 3 4    1 2 3 4    1 3 4    1 1     1 2 1     1 2 1     1 3 1
     ------------------------------------------------------------------------
                    2           2        2       2                    2      
     - 4x x x y  - x x y  - 2x x y  - x x y  - 2x x y  - 2x x x y  - x x y  -
         1 2 3 1    2 3 1     1 3 1    2 3 1     1 4 1     1 2 4 1    2 4 1  
     ------------------------------------------------------------------------
                             2         2 2         2    2 2         2  
     2x x x y  - x x x y  - x x y  + 2x y  + 3x x y  + x y  + 3x x y  +
       1 3 4 1    2 3 4 1    3 4 1     1 1     1 2 1    2 1     1 3 1  
     ------------------------------------------------------------------------
           2    2 2        2        2        2      3      3      3    3    
     2x x y  + x y  + x x y  + x x y  + x x y  - x y  - x y  - x y  - x y  -
       2 3 1    3 1    1 4 1    2 4 1    3 4 1    1 1    2 1    3 1    1 2  
     ------------------------------------------------------------------------
       2          2       2                      2      2                 
     2x x y  - x x y  - 2x x y  - 2x x x y  - x x y  - x x y  - x x x y  -
       1 2 2    1 2 2     1 3 2     1 2 3 2    1 3 2    1 4 2    1 2 4 2  
     ------------------------------------------------------------------------
                  2                    2                                2    
     x x x y  + 3x y y  + 4x x y y  + x y y  + 4x x y y  + 2x x y y  + x y y 
      1 3 4 2     1 1 2     1 2 1 2    2 1 2     1 3 1 2     2 3 1 2    3 1 2
     ------------------------------------------------------------------------
                                             2         2         2        2  
     + 2x x y y  + x x y y  + x x y y  - 3x y y  - 2x y y  - 2x y y  - x y y 
         1 4 1 2    2 4 1 2    3 4 1 2     1 1 2     2 1 2     3 1 2    4 1 2
     ------------------------------------------------------------------------
        3      2 2        2        2         2        2        2    2 2  
     + y y  + x y  + x x y  + x x y  - 2x y y  - x y y  - x y y  + y y  -
        1 2    1 2    1 2 2    1 3 2     1 1 2    2 1 2    3 1 2    1 2  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       2          2       2                      2      2      
     x y  - 2x x y  - x x y  - 2x x y  - 2x x x y  - x x y  - x x y  -
      1 3     1 2 3    1 2 3     1 3 3     1 2 3 3    1 3 3    1 4 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                             2                    2                  
     x x x y  - x x x y  + 3x y y  + 4x x y y  + x y y  + 4x x y y  +
      1 2 4 3    1 3 4 3     1 1 3     1 2 1 3    2 1 3     1 3 1 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                  2                                             2         2  
     2x x y y  + x y y  + 2x x y y  + x x y y  + x x y y  - 3x y y  - 2x y y 
       2 3 1 3    3 1 3     1 4 1 3    2 4 1 3    3 4 1 3     1 1 3     2 1 3
     ------------------------------------------------------------------------
           2        2      3       2                                         
     - 2x y y  - x y y  + y y  + 2x y y  + 2x x y y  + 2x x y y  + x x y y  -
         3 1 3    4 1 3    1 3     1 2 3     1 2 2 3     1 3 2 3    1 4 2 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                      2          2        2  
     4x y y y  - 2x y y y  - 2x y y y  - x y y y  + 2y y y  - x y y  + y y y 
       1 1 2 3     2 1 2 3     3 1 2 3    4 1 2 3     1 2 3    1 2 3    1 2 3
     ------------------------------------------------------------------------
        2 2        2        2         2        2        2    2 2        2  
     + x y  + x x y  + x x y  - 2x y y  - x y y  - x y y  + y y  - x y y  +
        1 3    1 2 3    1 3 3     1 1 3    2 1 3    3 1 3    1 3    1 2 3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2    2        2                   2                            
     y y y  - x x y  - x x y  - x x x y  - x x y  - x x x y  - x x x y  +
      1 2 3    1 2 4    1 3 4    1 2 3 4    1 4 4    1 2 4 4    1 3 4 4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                                                                
     x y y  + 2x x y y  + 2x x y y  + x x y y  + 2x x y y  + x x y y  +
      1 1 4     1 2 1 4     1 3 1 4    2 3 1 4     1 4 1 4    2 4 1 4  
     ------------------------------------------------------------------------
                    2        2        2        2      3      2               
     x x y y  - 2x y y  - x y y  - x y y  - x y y  + y y  + x y y  + x x y y 
      3 4 1 4     1 1 4    2 1 4    3 1 4    4 1 4    1 4    1 2 4    1 2 2 4
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                         
     + x x y y  + x x y y  - 2x y y y  - x y y y  - x y y y  - x y y y  +
        1 3 2 4    1 4 2 4     1 1 2 4    2 1 2 4    3 1 2 4    4 1 2 4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2          2        2      2                                       
     y y y  - x y y  + y y y  + x y y  + x x y y  + x x y y  + x x y y  -
      1 2 4    1 2 4    1 2 4    1 3 4    1 2 3 4    1 3 3 4    1 4 3 4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                   2                 
     2x y y y  - x y y y  - x y y y  - x y y y  + y y y  - x y y y  +
       1 1 3 4    2 1 3 4    3 1 3 4    4 1 3 4    1 3 4    1 2 3 4  
     ------------------------------------------------------------------------
                   2        2
     y y y y  - x y y  + y y y
      1 2 3 4    1 3 4    1 3 4

o2 : QQ[x ..x , y ..y ]
         1   5   1   5