GG(ZZ,MultirationalMap) -- induced automorphism of the Grassmannian

Synopsis

Function: GG
Usage:

GG(k,f)
Inputs:
- k, an integer, to indicate the Grassmannian GG$(k,n)$ of $k$-dimensional subspaces of $\mathbb{P}^n$
- f, a multi-rational map, an automorphism of $\mathbb{P}^n$
Outputs:
- a multi-rational map, the induced automorphism of GG$(k,n)$

Description

i1 : K = ZZ/33331;

i2 : f = random 1_(PP_K^4);

o2 : MultirationalMap (rational map from PP^4 to PP^4)

i3 : show f

o3 = -- multi-rational map --
     source: Proj(K[x , x , x , x , x ])
                     0   1   2   3   4
     target: Proj(K[x , x , x , x , x ])
                     0   1   2   3   4
     -- rational map 1/1 -- 
     map 1/1, one of its representatives:
     {
      2077x  - 13092x  - 5710x  + 1541x  + 4659x ,
           0         1        2        3        4
      
      3214x  + 224x  - 8173x  - 8255x  + 10939x ,
           0       1        2        3         4
      
      - 8079x  + 1983x  + 2828x  + 11984x  + 3141x ,
             0        1        2         3        4
      
      - 209x  - 5685x  - 5403x  + 8625x  + 10589x ,
            0        1        2        3         4
      
      - 10931x  + 12499x  - 1748x  + 2880x  + 11558x
              0         1        2        3         4
     }

i4 : F = GG(1,f);

o4 : MultirationalMap (rational map from GG(1,4) to GG(1,4))

i5 : show F

o5 = -- multi-rational map --
     source: subvariety of Proj(K[x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ]) defined by
                                   0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   0,4   1,4   2,4   3,4
             {
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               2,3 1,4    1,3 2,4    1,2 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               2,3 0,4    0,3 2,4    0,2 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               1,3 0,4    0,3 1,4    0,1 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               1,2 0,4    0,2 1,4    0,1 2,4
              
              x   x    - x   x    + x   x
               1,2 0,3    0,2 1,3    0,1 2,3
             }
     target: subvariety of Proj(K[x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ]) defined by
                                   0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   0,4   1,4   2,4   3,4
             {
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               2,3 1,4    1,3 2,4    1,2 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               2,3 0,4    0,3 2,4    0,2 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               1,3 0,4    0,3 1,4    0,1 3,4
              
              x   x    - x   x    + x   x   ,
               1,2 0,4    0,2 1,4    0,1 2,4
              
              x   x    - x   x    + x   x
               1,2 0,3    0,2 1,3    0,1 2,3
             }
     -- rational map 1/1 -- 
     map 1/1, one of its representatives:
     {
      12580x    + 10048x    - 12463x    + 44x    + 3484x    + 1491x    + 13485x    - 436x    + 14609x    - 12416x   ,
            0,1         0,2         1,2      0,3        1,3        2,3         0,4       1,4         2,4         3,4
      
      7973x    + 6514x    - 3045x    + 9787x    + 5138x    + 8316x    + 343x    + 2372x    - 12939x    + 3255x   ,
           0,1        0,2        1,2        0,3        1,3        2,3       0,4        1,4         2,4        3,4
      
      - 16368x    - 11127x    + 8376x    - 10874x    - 11251x    - 5314x    + 11581x    + 10077x    - 10847x    + 410x   ,
              0,1         0,2        1,2         0,3         1,3        2,3         0,4         1,4         2,4       3,4
      
      - 11657x    - 16289x    + 10738x    + 4137x    + 1460x    + 7741x    + 2025x    + 14042x    + 6916x    - 1230x   ,
              0,1         0,2         1,2        0,3        1,3        2,3        0,4         1,4        2,4        3,4
      
      7283x    - 8067x    - 10447x    - 2725x    - 825x    - 1947x    - 11493x    - 1996x    - 9067x    - 7127x   ,
           0,1        0,2         1,2        0,3       1,3        2,3         0,4        1,4        2,4        3,4
      
      13472x    + 11652x    - 3260x    - 14754x    + 5048x    + 13958x    + 1995x    - 9374x    - 13533x    + 14437x   ,
            0,1         0,2        1,2         0,3        1,3         2,3        0,4        1,4         2,4         3,4
      
      10236x    + 15436x    - 5962x    - 5304x    - 3240x    + 14571x    + 5407x    + 1820x    + 10368x    - 6734x   ,
            0,1         0,2        1,2        0,3        1,3         2,3        0,4        1,4         2,4        3,4
      
      - 10019x    + 2884x    + 3232x    + 15245x    - 1700x    - 3971x    - 741x    - 13625x    - 14102x    + 8838x   ,
              0,1        0,2        1,2         0,3        1,3        2,3       0,4         1,4         2,4        3,4
      
      - 8799x    + 4779x    - 16172x    + 3792x    + 12937x    - 5291x    - 13610x    - 7655x    + 12497x    + 7388x   ,
             0,1        0,2         1,2        0,3         1,3        2,3         0,4        1,4         2,4        3,4
      
      7107x    + 1030x    + 8233x    - 15486x    + 14631x    + 15825x    + 7337x    - 6339x    - 8044x    - 3726x
           0,1        0,2        1,2         0,3         1,3         2,3        0,4        1,4        2,4        3,4
     }

i6 : assert(F^-1 == GG(1,f^-1))

Ways to use this method: