dualize -- apply duality of Grassmannians

Synopsis

Usage:

dualize f
Inputs:
- f, a ring element, or a matrix, or an ideal, in the coordinate ring (resp. ambient ring) of a Grassmannian $\mathbb{G}(k,n)$
Outputs:
- the image of f in the coordinate ring (resp. ambient ring) of $\mathbb{G}(n-k-1,n)$ via the duality of Grassmannians

Description

This method implements the natural identification $\mathbb{G}(k,\mathbb{P}^n)\to\mathbb{G}(n-k-1,{\mathbb{P}^n}^{*})$, which takes a subspace $L\in\mathbb{G}(k,\mathbb{P}^n)$ to its orthogonal complement $L^*\in\mathbb{G}(n-k-1,{\mathbb{P}^n}^*)$.

i1 : P9 = ambient Grass(2,4,ZZ/13,Variable=>x);

i2 : vars P9

o2 = | x_(0,1,2) x_(0,1,3) x_(0,2,3) x_(1,2,3) x_(0,1,4) x_(0,2,4) x_(1,2,4)
     ------------------------------------------------------------------------
     x_(0,3,4) x_(1,3,4) x_(2,3,4) |

              1       10
o2 : Matrix P9  <-- P9

i3 : dualize vars P9

o3 = | x_(3,4) -x_(2,4) x_(1,4) -x_(0,4) x_(2,3) -x_(1,3) x_(0,3) x_(1,2)
     ------------------------------------------------------------------------
     -x_(0,2) x_(0,1) |

             ZZ                                                             1      ZZ                                                             10
o3 : Matrix (--[x   ..x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ])  <-- (--[x   ..x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ])
             13  0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   0,4   1,4   2,4   3,4         13  0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   0,4   1,4   2,4   3,4

i4 : F  = random(2,P9)

         2                         2                                     
o4 = - 2x      - 5x     x      - 6x      + x     x      - 2x     x      +
         0,1,2     0,1,2 0,1,3     0,1,3    0,1,2 0,2,3     0,1,3 0,2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                                                         2      
     2x      + 3x     x      - 5x     x      + 3x     x      - 4x      -
       0,2,3     0,1,2 1,2,3     0,1,3 1,2,3     0,2,3 1,2,3     1,2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                       2    
     6x     x      - 5x     x      + 6x     x      + 3x     x      + 6x     
       0,1,2 0,1,4     0,1,3 0,1,4     0,2,3 0,1,4     1,2,3 0,1,4     0,1,4
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                      
     - 5x     x      - 2x     x      + 3x     x      - 6x     x      +
         0,1,2 0,2,4     0,1,3 0,2,4     0,2,3 0,2,4     1,2,3 0,2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                                                                    
     5x      - 3x     x      + 5x     x      + 6x     x      + 6x     x     
       0,2,4     0,1,2 1,2,4     0,1,3 1,2,4     0,2,3 1,2,4     1,2,3 1,2,4
     ------------------------------------------------------------------------
                                         2                      
     + 2x     x      + 6x     x      - 6x      + 3x     x      -
         0,1,4 1,2,4     0,2,4 1,2,4     1,2,4     0,1,2 0,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                    
     6x     x      - 5x     x      - 4x     x      + 6x     x      +
       0,1,3 0,3,4     0,2,3 0,3,4     1,2,3 0,3,4     0,1,4 0,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                       2                                     
     3x     x      - 4x     x      - 3x      - x     x      - 5x     x      -
       0,2,4 0,3,4     1,2,4 0,3,4     0,3,4    0,1,2 1,3,4     0,1,3 1,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                    
     3x     x      + 6x     x      - 4x     x      + 5x     x      -
       0,2,3 1,3,4     1,2,3 1,3,4     0,1,4 1,3,4     0,2,4 1,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                       2                                    
     2x     x      + 5x     x      + 4x      + 3x     x      + 5x     x     
       1,2,4 1,3,4     0,3,4 1,3,4     1,3,4     0,1,2 2,3,4     0,1,3 2,3,4
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                      
     + 6x     x      + 2x     x      + 3x     x      - 6x     x      +
         0,2,3 2,3,4     1,2,3 2,3,4     0,1,4 2,3,4     0,2,4 2,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                       2
     4x     x      + 3x     x      - 2x
       1,2,4 2,3,4     1,3,4 2,3,4     2,3,4

o4 : P9

i5 : dualize F

         2                   2                   2                          
o5 = - 2x    - 3x   x    + 4x    - 5x   x    - 3x    + 4x   x    + 2x   x   
         0,1     0,1 0,2     0,2     0,2 1,2     1,2     0,1 0,3     0,2 0,3
     ------------------------------------------------------------------------
                     2                                                    
     - 4x   x    - 6x    + 6x   x    + 5x   x    - 3x   x    - 6x   x    +
         1,2 0,3     0,3     0,1 1,3     0,2 1,3     1,2 1,3     0,3 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                                                       2    
     5x    + 3x   x    + 4x   x    + 6x   x    + 2x   x    + 6x    -
       1,3     0,1 2,3     0,2 2,3     1,2 2,3     0,3 2,3     2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                            
     2x   x    + 6x   x    + 4x   x    - 6x   x    - 6x   x    - 3x   x    -
       0,1 0,4     0,2 0,4     1,2 0,4     0,3 0,4     1,3 0,4     2,3 0,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                                                                
     4x    + 6x   x    + 3x   x    - 5x   x    + 6x   x    - 3x   x    +
       0,4     0,1 1,4     0,2 1,4     1,2 1,4     0,3 1,4     1,3 1,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                               2                                        
     6x   x    - 3x   x    + 2x    - 5x   x    - 5x   x    + 6x   x    -
       2,3 1,4     0,4 1,4     1,4     0,1 2,4     0,2 2,4     1,2 2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                   2    
     5x   x    - 2x   x    + 5x   x    - 5x   x    + 2x   x    - 6x    +
       0,3 2,4     1,3 2,4     2,3 2,4     0,4 2,4     1,4 2,4     2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                           
     3x   x    + x   x    + 3x   x    - 3x   x    + 5x   x    - 6x   x    -
       0,1 3,4    0,2 3,4     1,2 3,4     0,3 3,4     1,3 3,4     2,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                          2
     3x   x    + x   x    + 5x   x    - 2x
       0,4 3,4    1,4 3,4     2,4 3,4     3,4

     ZZ
o5 : --[x   ..x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ]
     13  0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   0,4   1,4   2,4   3,4

i6 : F == dualize dualize F

o6 = true

Ways to use dualize :

dualize(Ideal)
dualize(Matrix)
dualize(Ring)
dualize(RingElement)
dualize(RingMap)
dualize(VisibleList)

For the programmer

The object dualize is a method function.