fromPluckerToStiefel -- convert from Plücker coordinates to Stiefel coordinates

Synopsis

Usage:

fromPluckerToStiefel f
Inputs:
- f, a ring element, or a matrix, or an ideal, in the coordinate ring of a Grassmannian $\mathbb{G}(k,n)$
Optional inputs:
- AffineChartGrass => ..., default value false, use an affine chart on the Grassmannian
- Variable => ..., default value null, specify a name for a variable
Outputs:
- the representation of f in the Stiefel coordinates of $\mathbb{G}(k,n)$ (or in the affine coordinates if an affine chart is given with AffineChartGrass)

Description

This method can be used to compute the $X$-resultant of a projective variety. Here, we compute the $X$-resultant of the twisted cubic curve.

i1 : C = kernel veronese(1,3)

             2                       2
o1 = ideal (x  - x x , x x  - x x , x  - x x )
             2    1 3   1 2    0 3   1    0 2

o1 : Ideal of QQ[x ..x ]
                  0   3

i2 : time fromPluckerToStiefel dualize chowForm C
     -- used 0.0338451 seconds

        3   3          2   2              2       2          2   3    
o2 = - x   x    + x   x   x   x    - x   x   x   x    + x   x   x    -
        0,3 1,0    0,2 0,3 1,0 1,1    0,1 0,3 1,0 1,1    0,0 0,3 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
      2       2               2   2                                   
     x   x   x   x    + 2x   x   x   x    + x   x   x   x   x   x    -
      0,2 0,3 1,0 1,2     0,1 0,3 1,0 1,2    0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                              2          2           2    
     3x   x   x   x   x    - x   x   x   x   x    - x   x   x   x    +
       0,0 0,3 1,0 1,1 1,2    0,0 0,2 0,3 1,1 1,2    0,1 0,3 1,0 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2                      2      2       3    
     2x   x   x   x   x    + x   x   x   x   x    - x   x   x    +
       0,0 0,2 0,3 1,0 1,2    0,0 0,1 0,3 1,1 1,2    0,0 0,3 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
      3   2                       2               2   2        
     x   x   x    - 3x   x   x   x   x    + 3x   x   x   x    -
      0,2 1,0 1,3     0,1 0,2 0,3 1,0 1,3     0,0 0,3 1,0 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                   2                                             
     x   x   x   x   x    + 2x   x   x   x   x    + x   x   x   x   x   x   
      0,1 0,2 1,0 1,1 1,3     0,1 0,3 1,0 1,1 1,3    0,0 0,2 0,3 1,0 1,1 1,3
     ------------------------------------------------------------------------
            2   2                       2          2                    
     + x   x   x   x    - 2x   x   x   x   x    + x   x   x   x   x    -
        0,0 0,2 1,1 1,3     0,0 0,1 0,3 1,1 1,3    0,1 0,2 1,0 1,2 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                                           
     2x   x   x   x   x    - x   x   x   x   x   x    -
       0,0 0,2 1,0 1,2 1,3    0,0 0,1 0,3 1,0 1,2 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                  2                      2       2        
     x   x   x   x   x   x    + 3x   x   x   x   x    + x   x   x   x    -
      0,0 0,1 0,2 1,1 1,2 1,3     0,0 0,3 1,1 1,2 1,3    0,0 0,2 1,2 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       2                       2       2           2    
     x   x   x    + 3x   x   x   x   x    - 3x   x   x   x    +
      0,1 1,0 1,3     0,0 0,1 0,2 1,0 1,3     0,0 0,3 1,0 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2       2       2           2      2           2      3   3
     x   x   x   x    - 2x   x   x   x    - x   x   x   x    + x   x
      0,0 0,1 1,1 1,3     0,0 0,2 1,1 1,3    0,0 0,1 1,2 1,3    0,0 1,3

o2 : QQ[x   ..x   ]
         0,0   1,3

i3 : time fromPluckerToStiefel(dualize chowForm C,AffineChartGrass=>{0,1})
     -- used 0.0409378 seconds

            3          2                         2                        
o3 = - x   x    + x   x   x    - x   x   x    + x   x    + 3x   x   x    -
        0,3 1,2    0,2 1,2 1,3    0,2 0,3 1,2    0,2 1,3     0,3 1,2 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2      3      2
     2x   x    + x    + x
       0,2 1,3    1,3    0,3

o3 : QQ[x   ..x   ]
         0,2   1,3

i4 : fromPluckerToStiefel(dualize chowForm C,AffineChartGrass=>{2,3},Variable=>a)

        3              2          3                       2        
o4 = - a   a    + a   a   a    + a    + 3a   a   a    - 2a   a    -
        0,1 1,0    0,0 0,1 1,1    0,0     0,0 0,1 1,0     0,0 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
                         2      2
     a   a   a    + a   a    + a
      0,1 1,0 1,1    0,0 1,1    1,0

o4 : QQ[a   ..a   ]
         0,0   1,1

As another application, we check that the singular locus of the Chow form of the twisted cubic has dimension 2 (on each standard chart).

i5 : w = chowForm C;

i6 : time U = apply(subsets(4,2),s->ideal fromPluckerToStiefel(w,AffineChartGrass=>s))
     -- used 0.0267676 seconds

                   3          2          3                       2        
o6 = {ideal(- x   x    + x   x   x    - x    - 3x   x   x    + 2x   x    +
               0,3 1,2    0,2 1,2 1,3    0,2     0,2 0,3 1,2     0,2 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                         2      2            2   3               2        
     x   x   x    - x   x    + x   ), ideal(x   x    - 2x   x   x   x    +
      0,3 1,2 1,3    0,2 1,3    0,3          0,3 1,1     0,1 0,3 1,1 1,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2       2      3                      2                              
     x   x   x    + x    + 3x   x   x    - x   x    + x   x   x    - x   ),
      0,1 1,1 1,3    0,1     0,1 0,3 1,1    0,1 1,3    0,3 1,1 1,3    0,3  
     ------------------------------------------------------------------------
            2   2                         2              2                
     ideal(x   x    - x   x   x   x    - x   x    - x   x    - 2x   x    -
            0,3 1,0    0,0 0,3 1,0 1,3    0,0 0,3    1,0 1,3     0,3 1,0  
     ------------------------------------------------------------------------
                             3   3           2   2           2           2  
     x   x    + 1), ideal(- x   x    + 3x   x   x   x    - 3x   x   x   x   
      0,0 1,3                0,2 1,1     0,1 0,2 1,1 1,2     0,1 0,2 1,1 1,2
     ------------------------------------------------------------------------
        3   3       2   2                         2   2      2        
     + x   x    + 2x   x    - x   x   x   x    - x   x    + x   x    +
        0,1 1,2     0,2 1,1    0,1 0,2 1,1 1,2    0,1 1,2    0,1 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                       3   2           2              2       2  
     x   x    - x   x   ), ideal(x   x    - 2x   x   x   x    + x   x   x   
      0,2 1,2    0,2 1,1          0,2 1,0     0,0 0,2 1,0 1,2    0,0 0,2 1,2
     ------------------------------------------------------------------------
                                           2      3                   
     + x   x   x    + 3x   x   x    - x   x    + x    - x   ), ideal(-
        0,0 0,2 1,0     0,2 1,0 1,2    0,0 1,2    1,2    1,0          
     ------------------------------------------------------------------------
      3              2                         2                        
     x   x    + x   x   x    + x   x   x    - x   x    - 3x   x   x    +
      0,1 1,0    0,0 0,1 1,1    0,0 0,1 1,0    0,0 1,1     0,1 1,0 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
           2      3      2
     2x   x    - x    + x   )}
       0,0 1,1    1,1    1,0

o6 : List

i7 : time apply(U,u->dim singularLocus u)
     -- used 0.0179318 seconds

o7 = {2, 2, 2, 2, 2, 2}

o7 : List

Ways to use fromPluckerToStiefel :

fromPluckerToStiefel(Ideal)
fromPluckerToStiefel(Matrix)
fromPluckerToStiefel(RingElement)

For the programmer

The object fromPluckerToStiefel is a method function with options.