slIrreducibleRepresentationsTensorProduct -- computes the irreducible SL-subrepresentations of the tensor product of two symmetric products

Synopsis

Usage:

D = slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(n,a,b)

D = slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(R,a,b)
Inputs:
- n, an integer, positive
- R, a polynomial ring,
- a, an integer, positive
- b, an integer, positive
Outputs:
- D, a list, of irreducible representations

Description

This function computes the decomposition in irreducible $SL(n+1)$-representations of the tensor product $S^aV \otimes S^bV$, where $V = <v_0,\ldots,v_n>$ and $a \leq b$.

If $n = 1$, the decomposition is

$S^aV \otimes S^bV = S^{a+b}V \oplus S^{a+b-2}V \oplus S^{a+b-4}V \oplus \dots \oplus S^{b-a}V$,

while if $n > 1$, the decomposition is

$S^aV \otimes S^bV = S^{a+b}V \oplus V_{(a+b-2)\lambda_1 + \lambda_2} \oplus V_{(a+b-4)\lambda_1 + 2\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{(b-a)\lambda_1 + a\lambda_2}$,

where $\lambda_1$ and $\lambda_2$ are the two greatest fundamental weights of the Lie group $SL(n+1)$ and $V_{i\lambda_1+j\lambda_2}$ is the irreducible representation of highest weight $i\lambda_1+j\lambda_2$.

i1 : n = 2

o1 = 2

i2 : a = 1, b = 2

o2 = (1, 2)

o2 : Sequence

i3 : D = slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(n,a,b);

i4 : #D

o4 = 2

i5 : D#0

           2                         2         2                   
o5 = {v   v   , 2v   v   v    + v   v   , v   v    + 2v   v   v   ,
       0,0 1,0    0,0 1,0 1,1    0,1 1,0   0,0 1,1     0,1 1,0 1,1 
     ------------------------------------------------------------------------
                          2         2                                 
     2v   v   v    + v   v   , v   v   , v   v   v    + v   v   v    +
       0,0 1,0 1,2    0,2 1,0   0,1 1,1   0,0 1,1 1,2    0,1 1,0 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
                                        2         2                   
     v   v   v   , 2v   v   v    + v   v   , v   v    + 2v   v   v   ,
      0,2 1,0 1,1    0,1 1,1 1,2    0,2 1,1   0,0 1,2     0,2 1,0 1,2 
     ------------------------------------------------------------------------
          2                         2
     v   v    + 2v   v   v   , v   v   }
      0,1 1,2     0,2 1,1 1,2   0,2 1,2

o5 : List

i6 : D#1

                          2         2                                 
o6 = {v   v   v    - v   v   , v   v    - v   v   v   , v   v   v    -
       0,0 1,0 1,1    0,1 1,0   0,0 1,1    0,1 1,0 1,1   0,0 1,0 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                                                             
     v   v   , v   v   v    - v   v   v   , v   v   v    - v   v   v   ,
      0,2 1,0   0,0 1,1 1,2    0,2 1,0 1,1   0,1 1,0 1,2    0,2 1,0 1,1 
     ------------------------------------------------------------------------
                         2         2                        2
     v   v   v    - v   v   , v   v    - v   v   v   , v   v    -
      0,1 1,1 1,2    0,2 1,1   0,0 1,2    0,2 1,0 1,2   0,1 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
     v   v   v   }
      0,2 1,1 1,2

o6 : List

If a polynomial ring R is given, then n = numgens R - 1 and $V = <R_0,\ldots,R_n>$.

i7 : R = QQ[x_0,x_1,x_2];

i8 : a = 2, b = 3

o8 = (2, 3)

o8 : Sequence

i9 : D = slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(R,a,b);

i10 : #D

o10 = 3

i11 : D#0

        2   3      2   2                   3      2       2    
o11 = {x   x   , 3x   x   x    + 2x   x   x   , 3x   x   x    +
        0,0 1,0    0,0 1,0 1,1     0,0 0,1 1,0    0,0 1,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
                2          2   3      2   2                   3     2   3    
      6x   x   x   x    + x   x   , 3x   x   x    + 2x   x   x   , x   x    +
        0,0 0,1 1,0 1,1    0,1 1,0    0,0 1,0 1,2     0,0 0,2 1,0   0,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2       2   2          2                
      6x   x   x   x    + 3x   x   x   , 3x   x   x   x    +
        0,0 0,1 1,0 1,1     0,1 1,0 1,1    0,0 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                2                   2                  3              3    
      3x   x   x   x    + 3x   x   x   x    + x   x   x   , 2x   x   x    +
        0,0 0,1 1,0 1,2     0,0 0,2 1,0 1,1    0,1 0,2 1,0    0,0 0,1 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
        2       2     2   2                                  2   2        
      3x   x   x   , x   x   x    + 4x   x   x   x   x    + x   x   x    +
        0,1 1,0 1,1   0,0 1,1 1,2     0,0 0,1 1,0 1,1 1,2    0,1 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2               2          2       2    
      2x   x   x   x    + 2x   x   x   x   , 3x   x   x    +
        0,0 0,2 1,0 1,1     0,1 0,2 1,0 1,1    0,0 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                2          2   3     2   3              2        
      6x   x   x   x    + x   x   , x   x   , 3x   x   x   x    +
        0,0 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0   0,1 1,1    0,0 0,1 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
        2                          3                   2     2       2    
      3x   x   x   x    + x   x   x    + 3x   x   x   x   , x   x   x    +
        0,1 1,0 1,1 1,2    0,0 0,2 1,1     0,1 0,2 1,0 1,1   0,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2                                       2        
      2x   x   x   x    + 4x   x   x   x   x    + 2x   x   x   x    +
        0,0 0,1 1,0 1,2     0,0 0,2 1,0 1,1 1,2     0,1 0,2 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2   2          2   2                   3                  2    
      x   x   x   , 3x   x   x    + 2x   x   x   , 2x   x   x   x    +
       0,2 1,0 1,1    0,1 1,1 1,2     0,1 0,2 1,1    0,0 0,1 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2       2               2                                
      x   x   x    + 2x   x   x   x    + 4x   x   x   x   x    +
       0,1 1,0 1,2     0,0 0,2 1,1 1,2     0,1 0,2 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2       2     2   3                   2       2   2       
      x   x   x   , x   x    + 6x   x   x   x    + 3x   x   x   ,
       0,2 1,0 1,1   0,0 1,2     0,0 0,2 1,0 1,2     0,2 1,0 1,2 
      -----------------------------------------------------------------------
        2       2               2          2   3             3    
      3x   x   x    + 6x   x   x   x    + x   x   , x   x   x    +
        0,1 1,1 1,2     0,1 0,2 1,1 1,2    0,2 1,1   0,0 0,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2                   2       2                 2   3    
      3x   x   x   x    + 3x   x   x   x    + 3x   x   x   x   , x   x    +
        0,0 0,2 1,1 1,2     0,1 0,2 1,0 1,2     0,2 1,0 1,1 1,2   0,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2       2   2                  3       2       2   
      6x   x   x   x    + 3x   x   x   , 2x   x   x    + 3x   x   x   ,
        0,1 0,2 1,1 1,2     0,2 1,1 1,2    0,0 0,2 1,2     0,2 1,0 1,2 
      -----------------------------------------------------------------------
                3       2       2     2   3
      2x   x   x    + 3x   x   x   , x   x   }
        0,1 0,2 1,2     0,2 1,1 1,2   0,2 1,2

o11 : List

i12 : D#1

        2   2                  3      2       2              2        
o12 = {x   x   x    - x   x   x   , 2x   x   x    - x   x   x   x    -
        0,0 1,0 1,1    0,0 0,1 1,0    0,0 1,0 1,1    0,0 0,1 1,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
       2   3     2   2                  3     2   3                  2    
      x   x   , x   x   x    - x   x   x   , x   x    + x   x   x   x    -
       0,1 1,0   0,0 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0   0,0 1,1    0,0 0,1 1,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
        2   2          2                          2                  3   
      2x   x   x   , 2x   x   x   x    - x   x   x   x    - x   x   x   ,
        0,1 1,0 1,1    0,0 1,0 1,1 1,2    0,0 0,2 1,0 1,1    0,1 0,2 1,0 
      -----------------------------------------------------------------------
               2                  2                 3      2       2   
      x   x   x   x    - x   x   x   x   , x   x   x    - x   x   x   ,
       0,0 0,1 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,1   0,0 0,1 1,1    0,1 1,0 1,1 
      -----------------------------------------------------------------------
       2   2          2   2                      2              2       
      x   x   x    - x   x   x    + x   x   x   x    - x   x   x   x   ,
       0,0 1,1 1,2    0,1 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,1    0,1 0,2 1,0 1,1 
      -----------------------------------------------------------------------
                               2   2                       2    
      2x   x   x   x   x    + x   x   x    - 2x   x   x   x    -
        0,0 0,1 1,0 1,1 1,2    0,1 1,0 1,2     0,0 0,2 1,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
               2          2       2              2          2   3   
      x   x   x   x   , 2x   x   x    - x   x   x   x    - x   x   ,
       0,1 0,2 1,0 1,1    0,0 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0 
      -----------------------------------------------------------------------
               2                      2      2                          3    
      x   x   x   x    - x   x   x   x   , 2x   x   x   x    - x   x   x    -
       0,0 0,1 1,1 1,2    0,1 0,2 1,0 1,1    0,1 1,0 1,1 1,2    0,0 0,2 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
                   2      2       2                            
      x   x   x   x   , 2x   x   x    + 2x   x   x   x   x    -
       0,1 0,2 1,0 1,1    0,0 1,1 1,2     0,0 0,2 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                2          2   2                      2    
      3x   x   x   x    - x   x   x   , 2x   x   x   x    -
        0,1 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0 1,1    0,0 0,1 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                                       2          2   2         2   2        
      2x   x   x   x   x    + x   x   x   x    - x   x   x   , x   x   x    -
        0,0 0,2 1,0 1,1 1,2    0,1 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0 1,1   0,1 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
               3                  2              2        
      x   x   x   , 2x   x   x   x    + x   x   x   x    -
       0,1 0,2 1,1    0,0 0,1 1,1 1,2    0,0 0,2 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                               2       2      2       2               2      
      2x   x   x   x   x    - x   x   x   , 2x   x   x    - 3x   x   x   x   
        0,1 0,2 1,0 1,1 1,2    0,2 1,0 1,1    0,1 1,0 1,2     0,0 0,2 1,1 1,2
      -----------------------------------------------------------------------
                                 2       2     2   3                  2    
      + 2x   x   x   x   x    - x   x   x   , x   x    + x   x   x   x    -
          0,1 0,2 1,0 1,1 1,2    0,2 1,0 1,1   0,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
        2   2          2       2              2          2   3   
      2x   x   x   , 2x   x   x    - x   x   x   x    - x   x   ,
        0,2 1,0 1,2    0,1 1,1 1,2    0,1 0,2 1,1 1,2    0,2 1,1 
      -----------------------------------------------------------------------
               3                  2       2                             2    
      x   x   x    + x   x   x   x    - 2x   x   x   x   , x   x   x   x    -
       0,0 0,1 1,2    0,1 0,2 1,0 1,2     0,2 1,0 1,1 1,2   0,0 0,2 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                   2     2   3                  2       2   2       
      x   x   x   x   , x   x    + x   x   x   x    - 2x   x   x   ,
       0,1 0,2 1,0 1,2   0,1 1,2    0,1 0,2 1,1 1,2     0,2 1,1 1,2 
      -----------------------------------------------------------------------
               3      2       2             3      2       2
      x   x   x    - x   x   x   , x   x   x    - x   x   x   }
       0,0 0,2 1,2    0,2 1,0 1,2   0,1 0,2 1,2    0,2 1,1 1,2

o12 : List

i13 : D#2

        2       2               2          2   3     2   3    
o13 = {x   x   x    - 2x   x   x   x    + x   x   , x   x    -
        0,0 1,0 1,1     0,0 0,1 1,0 1,1    0,1 1,0   0,0 1,1  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2      2   2         2                          2        
      2x   x   x   x    + x   x   x   , x   x   x   x    - x   x   x   x    -
        0,0 0,1 1,0 1,1    0,1 1,0 1,1   0,0 1,0 1,1 1,2    0,0 0,1 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
               2                  3     2   2          2   2        
      x   x   x   x    + x   x   x   , x   x   x    - x   x   x    -
       0,0 0,2 1,0 1,1    0,1 0,2 1,0   0,0 1,1 1,2    0,1 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2               2                              
      2x   x   x   x    + 2x   x   x   x   , x   x   x   x   x    -
        0,0 0,2 1,0 1,1     0,1 0,2 1,0 1,1   0,0 0,1 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2   2                      2              2         2       2    
      x   x   x    - x   x   x   x    + x   x   x   x   , x   x   x    -
       0,1 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,1    0,1 0,2 1,0 1,1   0,0 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                2          2   3             2          2                
      2x   x   x   x    + x   x   , x   x   x   x    - x   x   x   x    -
        0,0 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0   0,0 0,1 1,1 1,2    0,1 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
               3                  2     2       2                            
      x   x   x    + x   x   x   x   , x   x   x    - 2x   x   x   x   x    +
       0,0 0,2 1,1    0,1 0,2 1,0 1,1   0,0 1,1 1,2     0,0 0,2 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2   2                     2                           
      x   x   x   , x   x   x   x    - x   x   x   x   x    -
       0,2 1,0 1,1   0,0 0,1 1,0 1,2    0,0 0,2 1,0 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
               2          2   2                     2              2        
      x   x   x   x    + x   x   x   , x   x   x   x    - x   x   x   x    -
       0,1 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0 1,1   0,0 0,1 1,1 1,2    0,0 0,2 1,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                              2       2     2       2    
      x   x   x   x   x    + x   x   x   , x   x   x    -
       0,1 0,2 1,0 1,1 1,2    0,2 1,0 1,1   0,1 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                               2       2     2   3                   2    
      2x   x   x   x   x    + x   x   x   , x   x    - 2x   x   x   x    +
        0,1 0,2 1,0 1,1 1,2    0,2 1,0 1,1   0,0 1,2     0,0 0,2 1,0 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
       2   2         2       2               2          2   3             3  
      x   x   x   , x   x   x    - 2x   x   x   x    + x   x   , x   x   x   
       0,2 1,0 1,2   0,1 1,1 1,2     0,1 0,2 1,1 1,2    0,2 1,1   0,0 0,1 1,2
      -----------------------------------------------------------------------
                     2                  2      2                 2   3    
      - x   x   x   x    - x   x   x   x    + x   x   x   x   , x   x    -
         0,0 0,2 1,1 1,2    0,1 0,2 1,0 1,2    0,2 1,0 1,1 1,2   0,1 1,2  
      -----------------------------------------------------------------------
                    2      2   2
      2x   x   x   x    + x   x   x   }
        0,1 0,2 1,1 1,2    0,2 1,1 1,2

o13 : List

Ways to use slIrreducibleRepresentationsTensorProduct :

slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(PolynomialRing,ZZ,ZZ)
slIrreducibleRepresentationsTensorProduct(ZZ,ZZ,ZZ)

For the programmer

The object slIrreducibleRepresentationsTensorProduct is a method function.