sparseResultant -- sparse resultant (A-resultant)

Synopsis

Usage:

sparseResultant A
Inputs:
- A, a sequence, or a list of $n+1$ matrices $A_0,\ldots,A_n$ over $\mathbb{Z}$ and with $n$ rows to represent the exponent vectors of Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$ in $n$ variables, $f_i = \sum_{\omega\in A_i} a_{i,\omega} x^{\omega}$. In the unmixed case, that is when $A_0=\cdots=A_n$, it is enough to pass just one of the matrices. Moreover, if one wants to perform computations only in characteristic $p>0$, then it is recommended to use the option CoefficientRing=>ZZ/p.
Optional inputs:
- CoefficientRing => ..., default value ZZ
- Unmixed => ..., default value null
Outputs:
- an instance of the type SparseResultant, the universal sparse resultant associated to $A$, that is, a function that to a sequence (or a list, or a row matrix) of $n+1$ Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$ in $n$ variables over a coefficient ring $K$, involving only monomials from $A$, associates the sparse resultant of the polynomials $f_0,\ldots,f_n$, which is an element of $K$.

Description

Alternatively, one can apply the method directly to the list of Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$. In this case, the matrices $A_0,\ldots,A_n$ are automatically determined by exponentsMatrix. If you want require that $A_0=\cdots=A_n$, then use the option Unmixed=>true (this could be faster). Below we consider some examples.

In the first example, we calculate the sparse (mixed) resultant associated to the three sets of monomials $(1,x y,x^2 y,x),(y,x^2 y^2,x^2 y,x),(1,y,x y,x)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = c_{(1,1)}+c_{(1,2)} x y+c_{(1,3)} x^2 y+c_{(1,4)} x, g = c_{(2,1)} y+c_{(2,2)} x^2 y^2+c_{(2,3)} x^2 y+c_{(2,4)} x, h = c_{(3,1)}+c_{(3,2)} y+c_{(3,3)} x y+c_{(3,4)} x$.

i1 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,1,1,2},{0,0,1,1}},matrix{{0,1,2,2},{1,0,1,2}},matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}})
 -- used 1.11125s (cpu); 1.0268s (thread); 0s (gc)

o1 = Res

o1 : SparseResultant (sparse mixed resultant associated to {| 0 1 1 2 |, | 0 1 2 2 |, | 0 0 1 1 |})
                                                            | 0 0 1 1 |  | 1 0 1 2 |  | 0 1 0 1 |

i2 : QQ[c_(1,1)..c_(3,4)][x,y];

i3 : (f,g,h) = (c_(1,1)+c_(1,2)*x*y+c_(1,3)*x^2*y+c_(1,4)*x, c_(2,1)*y+c_(2,2)*x^2*y^2+c_(2,3)*x^2*y+c_(2,4)*x, c_(3,1)+c_(3,2)*y+c_(3,3)*x*y+c_(3,4)*x)

           2                                 2 2        2
o3 = (c   x y + c   x*y + c   x + c   , c   x y  + c   x y + c   x + c   y,
       1,3       1,2       1,4     1,1   2,2        2,3       2,4     2,1  
     ------------------------------------------------------------------------
     c   x*y + c   x + c   y + c   )
      3,3       3,4     3,2     3,1

o3 : Sequence

i4 : time Res(f,g,h)
 -- used 0.0159652s (cpu); 0.0172524s (thread); 0s (gc)

        2                       4      2   2               4    
o4 = - c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    +
        1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1    1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       2       3               2                   3        
     c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
               2               3          2           2       3        
     2c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2    1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
      2               2   3          4   2       3        
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c    +
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2    1,3 2,1 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
           3               3               2                   3        
     2c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2     1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2   2       3          2   2               3        
     c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2    1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
          3               2   2           2           2   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
      1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2     1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
               2       2   2   2       2               2   2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2     1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2               2   2           3               2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2     1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                   2   2       2   2               2   2    
     3c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2     1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
                                  2   2          3       2   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2    1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
              2       2   2   2          3       2       3    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2    1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
      2           3       3       2   2                   3    
     c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 1,4 2,3 3,1 3,2     1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
              2                   3      2   2   2           3    
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2    1,1 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
                      2           3      3           2       3    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2    1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
          2           2       3              2       2       3    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2    1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2  
     ------------------------------------------------------------------------
              2   2       4           2           2   4          3   3   4  
     c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   
      1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2     1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2    1,1 1,3 2,4 3,2
     ------------------------------------------------------------------------
            2       2       3                                      3        
     - c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
        1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3    1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2               3          3           2   3        
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3    1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2       3                  2               3        
     c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3    1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       3          3                   3        
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3    1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2   2       2                       2               2            
     2c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           3               2              2   2   2       2            
     2c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3    1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                           2   2               2   2       2   2            
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3     1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2               2   2               3       2       2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3     1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                   2            
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
               2               2              2           2       2          
     2c   c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c   
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
                 2               2            
     + 4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
         1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                       2            
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       2               2   2       2   2            
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3     1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      4                   2              3       2       2        
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3    1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2       2       2          2           3       2        
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3    1,1 1,2 1,4 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          3                   2               2                       2      
     c   c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3     1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
                 2                   2        
     + 3c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
         1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                           2        
     2c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2                   2          2           2           2      
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
            2       2           2               3       2       2        
     + c   c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c    -
        1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3     1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2           2       2           2   2       2       2        
     2c   c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3     1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                          2       2              2           2       2      
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
            3               3          2           2       3        
     + c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
        1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2   2       3                  2       2   3        
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2       2   3                               2   3        
     c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3     1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
               2   3   3                   2   2       2   2    
     2c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3     1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2               2   2           2           2   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3     1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2       2       2   2                                  2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3    1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                   2   2      3                   2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3    1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      3           2   2   2          3   2               2    
     c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3    1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          3                       2      2               2           2    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3    1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      3           2           2      2   2   2               2    
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3    1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2                       2      2   2                       2  
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
                                             2    
     + 5c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
         1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2                       2      3                           2    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                               2               2       2           2  
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - 5c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3     1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
     ------------------------------------------------------------------------
        2               2           2      2               2           2    
     + c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
        1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3    1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2               2   2       2   2               2   2    
     c   c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3     1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2           2       2   2          2           2   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
       2               2   2   2      2               2   2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3    1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2           2   2   2          2       3   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2           3      2               2       3    
     c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3    1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2   2           3      2                           3    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3    1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                       3           2           2       3    
     2c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3     1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                           3              2                   3    
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                       3      2   2       2       3    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3    1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                          2       3      3           2       3    
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3    1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       4      2               2   4    
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,3    1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2       2   3              2                   3        
     c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                   3           3                   3        
     c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4     1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2   2       2                       2       2   2            
     c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3       2   2              2   2   3   2            
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4    1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2       2               2   2               2            
     c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4     1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                  2            
     c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2               2              3       2       2            
     2c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2           2       2                  2           2   2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2       2                       2               2            
     c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4     1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                       2            
     5c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2           2       2              3                   2            
     2c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4    1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      4       2       2           2   2   2           2        
     c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4     1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3                   2          2   2   2           2        
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2       2       2                               2       2        
     2c   c   c   c   c   c   c    + 4c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4     1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       3           2       2          2               2       2        
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       3       2           2               2                       2        
     2c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2                   2          2           2           2      
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4    1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
                2   2           2        
     + c   c   c   c   c   c   c   c    -
        1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
              2                   2        
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                           2        
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                           2        
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                       2               2           2       2      
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4     1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
                2       2   3          3       3   3        
     - c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c    -
        1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4    1,1 1,3 2,3 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2       3               2                   3        
     c   c   c   c   c   c    + 4c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4     1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       3                  2               3        
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4    1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2           2       3               3       2   3        
     2c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4     1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2       2   3                               2   3        
     3c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4     1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2           2   3                  2   2       2            
     c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4    1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
              2       2   2                      2   2       2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       2            
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                   2                  3       2   2            
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4    1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2   2       2                   2                   2            
     c   c   c   c   c   c   c    + 5c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4     1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                   2              4               2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4    1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2                              3       2                    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4    1,1 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2       2                        
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2   2                        
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                                        
     7c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2                                
     5c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       3       2                        
     3c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2               2                    
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2           2                      3           2                  
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
             3   2                        
     - 3c   c   c   c   c   c   c   c    +
         1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2       2                        
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2                                
     6c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                    
     8c   c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2                                   3       2                      
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4     1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
        2           2                        
     + c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
        1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                                    
     c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                                    
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2                                      3               2          
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4    1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
                2       2   2              3           2   2            
     + c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
        1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4    1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       3   2               2   2   2       2            
     c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 2,3 3,2 3,3 3,4     1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2               2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                   2            
     7c   c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3                   2               2                       2          
     c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4     1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
         2   2   2       2                       2       2   2            
     - 2c   c   c   c   c   c   c    + 5c   c   c   c   c   c   c   c    -
         1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4     1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2               2   2                  2           2   2            
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3       2   2                  3   2           2        
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4    1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2           2           2   2   2           2        
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4     1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                           2           2   2       2       2        
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4     1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2   2           2          2           2           2        
     3c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4    1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                           2        
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                       2        
     2c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3                   2                  2   2           2        
     2c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4    1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2                   2          3           2       2        
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4    1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      4       2       2              2       2           2        
     c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4    1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
              2                   2          3       2           2        
     c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                       2          3                       2      
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
             2           2       2                  2   2       3        
     - 2c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    +
         1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3           2   3                          2       3        
     c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4    1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                       3          2   2               3        
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4    1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2           2       2   2           2           2   2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4     1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3               2   2      4               2   2    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4    1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       3           2           2       2               2    
     c   c   c   c   c   c    - 4c   c   c   c   c   c   c   c    +
      1,3 1,4 2,1 3,1 3,2 3,4     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2   2               2       2               2           2    
     3c   c   c   c   c   c   c   c    + 5c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4     1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
               2       2           2       3       3           2    
     5c   c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4     1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2           2               2      2                               2  
     c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   c   
      1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
             2                           2      3       2               2    
     + 4c   c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
         1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4    1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                           2      3                           2  
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c   c   
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4    1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
     ------------------------------------------------------------------------
        2   2   2               2          3       2   2   2    
     - c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
        1,1 1,2 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4    1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2       2       2   2      2                       2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4    1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
              2               2   2      3       2       2   2    
     c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4    1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2               2   2   2      3           2   2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4    1,1 1,2 2,2 2,3 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3   2       2   2       2   2               2   2    
     3c   c   c   c   c   c    - 6c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4     1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                                   2   2       3       2       2   2    
     6c   c   c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4     1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2           2       2   2           2                   2   2    
     3c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4     1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2               2   2          3       2   2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4    1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2       3           2                       2               2    
     c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,3 1,4 2,1 3,1 3,3 3,4     1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2   2               2       2               2           2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4     1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       2               2       2   2                       2    
     c   c   c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4     1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3                       2              2   2               2    
     2c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4    1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2       2           2       2   2   2               2    
     c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4     1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2               2    
     4c   c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       3                           2    
     4c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                               2       4   2               2    
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4     1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2   2       2           2               2   2               2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - 4c   c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4     1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                               2    
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2                           2      3       2               2    
     3c   c   c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3                       2              2   2       2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4    1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2           2       2   2           2       2       2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,3 3,4     1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       3                   2   2          2       2       2   2    
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,3 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      2   2               2   2          2       2           3    
     c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3       2           3      2   2       2       3    
     c   c   c   c   c   c    - c   c   c   c   c   c    -
      1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4    1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   3       3       2   2   2           3    
     c   c   c   c   c    + 3c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,3 2,1 3,2 3,4     1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2           3       3           2       3    
     3c   c   c   c   c   c   c   c    - 3c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4     1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2               2       3      4   3       3    
     3c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c    -
       1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4    1,1 2,2 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2       2           3       2   2                   3    
     c   c   c   c   c   c   c    - 2c   c   c   c   c   c   c    +
      1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4     1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           3                   3              2   3       3    
     2c   c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
       1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4    1,1 1,2 1,3 2,1 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
       2           2           3           2       2           3    
     2c   c   c   c   c   c   c    + 2c   c   c   c   c   c   c    +
       1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,3 3,4     1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
      3           2       3          3   2           3    
     c   c   c   c   c   c    + c   c   c   c   c   c    -
      1,1 1,2 2,1 2,2 3,3 3,4    1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          3   2       4
     c   c   c   c   c
      1,1 1,2 2,1 2,2 3,4

o4 : QQ[c   ..c   ]
         1,1   3,4

i5 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h))

In the second example, we calculate the sparse unmixed resultant associated to the set of monomials $(1,x,y,xy)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x y, g = b_0 + b_1 x + b_2 y + b_3 x y, h = c_0 + c_1 x + c_2 y + c_3 x y$. Moreover, we perform all the computation over $\mathbb{Z}/3331$.

i6 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}},CoefficientRing=>ZZ/3331);
 -- used 0.0663552s (cpu); 0.0661591s (thread); 0s (gc)

o6 : SparseResultant (sparse unmixed resultant associated to | 0 0 1 1 | over ZZ/3331)
                                                             | 0 1 0 1 |

i7 : ZZ/3331[a_0..a_3,b_0..b_3,c_0..c_3][x,y];

i8 : (f,g,h) = (a_0 + a_1*x + a_2*y + a_3*x*y, b_0 + b_1*x + b_2*y + b_3*x*y, c_0 + c_1*x + c_2*y + c_3*x*y)

o8 = (a x*y + a x + a y + a , b x*y + b x + b y + b , c x*y + c x + c y + c )
       3       1     2     0   3       1     2     0   3       1     2     0

o8 : Sequence

i9 : time Res(f,g,h)
 -- used 0.00696375s (cpu); 0.00669242s (thread); 0s (gc)

      2     2            2            2        2 2    2          
o9 = a b b c  - a a b b c  - a a b b c  + a a b c  - a b b c c  -
      3 1 2 0    2 3 1 3 0    1 3 2 3 0    1 2 3 0    3 0 2 0 1  
     ------------------------------------------------------------------------
                         2                       2                         
     a a b b c c  + a a b c c  + a a b b c c  + a b b c c  - a a b b c c  +
      2 3 1 2 0 1    1 3 2 0 1    2 3 0 3 0 1    2 1 3 0 1    1 2 2 3 0 1  
     ------------------------------------------------------------------------
                         2                2        2 2    2     2  
     a a b b c c  - a a b c c  + a a b b c  - a a b c  - a b b c  +
      0 3 2 3 0 1    0 2 3 0 1    2 3 0 2 1    0 3 2 1    2 0 3 1  
     ------------------------------------------------------------------------
              2    2                2                                    
     a a b b c  - a b b c c  + a a b c c  - a a b b c c  + a a b b c c  -
      0 2 2 3 1    3 0 1 0 2    2 3 1 0 2    1 3 1 2 0 2    1 3 0 3 0 2  
     ------------------------------------------------------------------------
                                    2                2        2 2      
     a a b b c c  + a a b b c c  + a b b c c  - a a b c c  + a b c c  -
      1 2 1 3 0 2    0 3 1 3 0 2    1 2 3 0 2    0 1 3 0 2    3 0 1 2  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                                  
     a a b b c c  - a a b b c c  + 2a a b b c c  + 2a a b b c c  -
      2 3 0 1 1 2    1 3 0 2 1 2     0 3 1 2 1 2     1 2 0 3 1 2  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                    2 2                2  
     2a a b b c c  - a a b b c c  - a a b b c c  + a b c c  + a a b b c  -
       0 3 0 3 1 2    0 2 1 3 1 2    0 1 2 3 1 2    0 3 1 2    1 3 0 1 2  
     ------------------------------------------------------------------------
          2 2    2     2            2                   2 2      
     a a b c  - a b b c  + a a b b c  + a a b b c c  - a b c c  +
      0 3 1 2    1 0 3 2    0 1 1 3 2    2 3 0 1 0 3    2 1 0 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                     2 2                    
     a a b b c c  + 2a a b b c c  - 2a a b b c c  - a b c c  - 2a a b b c c 
      1 3 0 2 0 3     1 2 1 2 0 3     0 3 1 2 0 3    1 2 0 3     1 2 0 3 0 3
     ------------------------------------------------------------------------
                                          2        2                         
     + a a b b c c  + a a b b c c  - a a b c c  + a b b c c  - a a b b c c  +
        0 2 1 3 0 3    0 1 2 3 0 3    2 3 0 1 3    2 0 1 1 3    1 2 0 2 1 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                        2                       2          
     a a b b c c  - a a b b c c  + a a b c c  + a a b b c c  - a b b c c  -
      0 3 0 2 1 3    0 2 1 2 1 3    0 1 2 1 3    0 2 0 3 1 3    0 2 3 1 3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2                                          2        2          
     a a b c c  - a a b b c c  + a a b b c c  + a a b c c  + a b b c c  -
      1 3 0 2 3    1 2 0 1 2 3    0 3 0 1 2 3    0 2 1 2 3    1 0 2 2 3  
     ------------------------------------------------------------------------
                                    2                2 2            2  
     a a b b c c  + a a b b c c  - a b b c c  + a a b c  - a a b b c  -
      0 1 1 2 2 3    0 1 0 3 2 3    0 1 3 2 3    1 2 0 3    0 2 0 1 3  
     ------------------------------------------------------------------------
              2    2     2
     a a b b c  + a b b c
      0 1 0 2 3    0 1 2 3

      ZZ
o9 : ----[a ..c ]
     3331  0   3

i10 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h))

In the third and last example, we compare the sparse mixed resultant and the sparse unmixed resultant of three generic polynomials of degrees 1,2,2 in two variables.

i11 : (f,g,h) = genericLaurentPolynomials(1,2,2)

                            2               2                        2  
o11 = (a x  + a x  + a , b x  + b x x  + b x  + b x  + b x  + b , c x  +
        2 1    1 2    0   5 1    4 1 2    2 2    3 1    1 2    0   5 1  
      -----------------------------------------------------------------------
                  2
      c x x  + c x  + c x  + c x  + c )
       4 1 2    2 2    3 1    1 2    0

o11 : Sequence

i12 : time (MixedRes,UnmixedRes) = (sparseResultant(f,g,h),sparseResultant(f,g,h,Unmixed=>true));
 -- used 1.75523s (cpu); 1.5952s (thread); 0s (gc)

i13 : quotientRemainder(UnmixedRes,MixedRes)

        2 2                   2    2                               2 2
o13 = (b c  - b b c c  + b b c  + b c c  - 2b b c c  - b b c c  + b c , 0)
        5 2    4 5 2 4    2 5 4    4 2 5     2 5 2 5    2 4 4 5    2 5

o13 : Sequence

i14 : assert((denseResultant(2,2,2))(f,g,h) == UnmixedRes and (denseResultant(1,2,2))(f,g,h) == MixedRes)

Ways to use sparseResultant :

sparseResultant(Thing)

For the programmer

The object sparseResultant is a method function with a single argument.

sparseResultant -- sparse resultant (A-resultant)

Synopsis

Description

See also

Ways to use sparseResultant :

For the programmer