polyoIdeal -- Ideal of inner 2-minors of a collection of cells

Synopsis

Usage:

polyoIdeal Q
Inputs:
- Q, a list of lists whose elements are the lists of diagonal corners of each cell.
Optional inputs:
- Field => ..., default value QQ, optional argument for polyoIdeal
- RingChoice => ..., default value 1, optional argument for polyoIdeal
- TermOrder => ..., default value Lex, optional argument for polyoIdeal
Outputs:
- The inner 2-minors ideal of the collection of cells encoding by Q

Description

Let $\mathcal{P}$ be a collection of cells. This routine returns the ideal $I_{\mathcal{P}}$ of the inner 2-minors of $\mathcal{P}$.
Moreover, if $\mathcal{P}$ is a polyomino, then it returns the polyomino ideal of $\mathcal{P}$.

If Q does not encod a collection of cells, that is in a list of Q the difference between the first sublist and the second one is different from {1,1}, then we get an error.

i1 : Q={{{1,1},{2,2}},{{2,1},{3,2}},{{2,2},{3,3}}}

o1 = {{{1, 1}, {2, 2}}, {{2, 1}, {3, 2}}, {{2, 2}, {3, 3}}}

o1 : List

i2 : I = polyoIdeal Q

o2 = ideal (x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   ,
             3,3 2,2    3,2 2,3   3,2 1,1    3,1 1,2   3,3 2,1    3,1 2,3 
     ------------------------------------------------------------------------
     x   x    - x   x   , x   x    - x   x   )
      3,2 2,1    3,1 2,2   2,2 1,1    2,1 1,2

o2 : Ideal of QQ[x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ]
                  3,3   3,2   3,1   2,3   2,2   2,1   1,2   1,1

i3 : Q={{{1, 1}, {2, 2}}, {{2, 1}, {3, 2}}, {{3, 1}, {4, 2}}, {{3, 2}, {4, 3}}, {{3, 3}, {4, 4}}, {{2, 3}, {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}}, {{1, 2}, {2, 3}}};

i4 : I = polyoIdeal Q

o4 = ideal (x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   ,
             4,4 2,3    4,3 2,4   2,2 1,1    2,1 1,2   4,2 3,1    4,1 3,2 
     ------------------------------------------------------------------------
     x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x   
      2,3 1,1    2,1 1,3   4,3 3,1    4,1 3,3   4,4 1,3    4,3 1,4   3,4 2,3
     ------------------------------------------------------------------------
     - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    -
        3,3 2,4   4,2 2,1    4,1 2,2   2,3 1,2    2,2 1,3   2,4 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
     x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   ,
      2,1 1,4   4,4 3,1    4,1 3,4   4,3 3,2    4,2 3,3   3,4 1,3    3,3 1,4 
     ------------------------------------------------------------------------
     x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x   
      3,2 2,1    3,1 2,2   4,2 1,1    4,1 1,2   2,4 1,2    2,2 1,4   4,4 3,2
     ------------------------------------------------------------------------
     - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    - x   x   , x   x    -
        4,2 3,4   2,4 1,3    2,3 1,4   4,4 3,3    4,3 3,4   3,2 1,1  
     ------------------------------------------------------------------------
     x   x   )
      3,1 1,2

o4 : Ideal of QQ[x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   , x   ]
                  4,4   4,3   4,2   4,1   3,4   3,3   3,2   3,1   2,4   2,3   2,2   2,1   1,4   1,3   1,2   1,1

Ways to use polyoIdeal :

polyoIdeal(List)

For the programmer

The object polyoIdeal is a method function with options.