chowForm -- Chow form of a projective variety

Synopsis

Usage:

chowForm I
Inputs:
- I, an ideal, a homogeneous ideal defining a projective variety $X=V(I)\subset\mathbb{P}^n$
Optional inputs:
- AffineChartGrass => ..., default value true, use an affine chart on the Grassmannian
- AffineChartProj => ..., default value true, use an affine chart on the projective space
- Duality => ..., default value null, whether to use dual Plücker coordinates
- Variable => ..., default value null, specify a name for a variable
Outputs:
- a ring element, the Chow form of $X$ in the coordinate ring of the Grassmannian $\mathbb{G}(n-dim(X)-1,\mathbb{P}^n)$ in the Plücker embedding

Description

This is the same as tangentialChowForm(I,0), see tangentialChowForm. Below, we compute the Chow form of the Veronese surface and then we compare it with the resultant of three ternary quadrics.

i1 : -- Veronese surface in P^5
     f = veronese(2,2,ZZ/3331); V = kernel f

              ZZ               ZZ
o1 : RingMap ----[t ..t ] <-- ----[x ..x ]
             3331  0   2      3331  0   5

             2                                    2                       2
o2 = ideal (x  - x x , x x  - x x , x x  - x x , x  - x x , x x  - x x , x  -
             4    3 5   2 4    1 5   2 3    1 4   2    0 5   1 2    0 4   1  
     ------------------------------------------------------------------------
     x x )
      0 3

               ZZ
o2 : Ideal of ----[x ..x ]
              3331  0   5

i3 : -- Chow form of V in Grass(2,5) (performing internal computations on an affine chart of the Grassmannian)
     time ChowV = chowForm(V,AffineChartGrass=>{1,2,3})
     -- used 4.88994 seconds

      4               2              2     2               2            
o3 = x      + 2x     x     x      + x     x      - 2x     x     x      +
      1,2,4     0,2,4 1,2,4 2,3,4    0,2,4 2,3,4     1,2,3 1,2,4 1,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
      2     2              2                                       
     x     x      - x     x     x      + x     x     x     x      +
      1,2,3 1,2,5    0,2,4 1,2,4 1,3,5    0,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                       2                     2            
     x     x     x     x      - x     x     x      - 3x     x     x      -
      0,1,4 1,2,4 1,2,5 1,3,5    0,1,3 1,2,5 1,3,5     0,2,3 1,2,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
            2              2                                             
     x     x     x      - x     x     x      - x     x     x     x      -
      0,1,4 1,2,4 2,3,5    0,2,4 1,3,4 2,3,5    0,2,3 0,2,4 2,3,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                           
     x     x     x     x      + 2x     x     x     x      +
      0,1,4 0,2,4 2,3,4 2,3,5     0,1,2 1,2,4 2,3,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                          
     x     x     x     x      + x     x     x     x      +
      0,2,3 1,2,3 1,2,5 2,3,5    0,1,3 1,2,4 1,2,5 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                          
     x     x     x     x      + x     x     x     x      -
      0,2,3 0,2,4 1,3,5 2,3,5    0,1,4 0,2,4 1,3,5 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                             2                    2      
     x     x     x     x      - x     x     x      + x     x     x      +
      0,1,3 0,2,5 1,3,5 2,3,5    0,1,2 1,2,3 2,3,5    0,1,3 0,2,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
             2                     2              2                  
     2x     x     x      - 2x     x     x      + x     x     x      -
       0,2,3 1,2,4 1,4,5     0,1,4 1,2,4 1,4,5    0,2,4 1,3,4 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                            
     2x     x     x     x      + 2x     x     x     x      -
       0,2,3 1,2,3 1,2,5 1,4,5     0,1,3 1,2,4 1,2,5 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                          
     x     x     x     x      - x     x     x     x      +
      0,2,3 0,2,4 1,3,5 1,4,5    0,1,4 0,2,4 1,3,5 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                            2     2      
     x     x     x     x      + x     x     x     x      + x     x      -
      0,1,2 1,2,4 1,3,5 1,4,5    0,1,3 0,2,5 1,3,5 1,4,5    0,2,3 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                   2        2     2                     2      
     2x     x     x      + x     x      - 2x     x     x      -
       0,1,2 1,2,3 1,4,5    0,1,4 1,4,5     0,1,2 0,3,4 1,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                  2                                           2            
     x     x     x      + 2x     x     x     x      + 2x     x     x      -
      0,1,3 0,1,5 1,4,5     0,2,3 1,2,3 1,2,4 2,4,5     0,1,3 1,2,4 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                  2                  
     8x     x     x     x      + x     x     x      +
       0,1,2 1,2,4 1,3,4 2,4,5    0,2,3 2,3,4 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                  2                  
     2x     x     x     x      + x     x     x      -
       0,1,2 1,2,3 2,3,4 2,4,5    0,1,4 2,3,4 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                            
     2x     x     x     x      - 2x     x     x     x      -
       0,1,2 0,3,4 2,3,4 2,4,5     0,1,3 1,2,3 1,2,5 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                                                2                  
     x     x     x      + 2x     x     x     x      - x     x     x      +
      0,2,3 1,3,5 2,4,5     0,1,2 1,2,3 1,3,5 2,4,5    0,1,4 1,3,5 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                           
     2x     x     x     x      + x     x     x     x      -
       0,1,2 0,3,4 1,3,5 2,4,5    0,1,3 0,1,5 1,3,5 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                            2     2      
     x     x     x     x      - x     x     x     x      + x     x      -
      0,1,3 0,2,3 2,3,5 2,4,5    0,1,3 0,1,4 2,3,5 2,4,5    0,1,3 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                           
     x     x     x     x      + 3x     x     x     x      +
      0,2,3 0,2,4 1,2,4 3,4,5     0,1,4 0,2,4 1,2,4 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
             2              2                                              
     3x     x     x      - x     x     x      + 2x     x     x     x      +
       0,1,2 1,2,4 3,4,5    0,2,4 0,3,4 3,4,5     0,1,2 0,2,4 2,3,4 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
       2                    2                                              
     2x     x     x      - x     x     x      - 3x     x     x     x      +
       0,2,3 1,2,5 3,4,5    0,1,4 1,2,5 3,4,5     0,1,3 0,2,4 1,2,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                          
     x     x     x     x      + x     x     x     x      +
      0,1,3 0,1,5 1,2,5 3,4,5    0,2,3 0,2,4 0,3,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                          
     x     x     x     x      - x     x     x     x      -
      0,1,4 0,2,4 0,3,5 3,4,5    0,1,3 0,2,5 0,3,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                           
     2x     x     x     x      - x     x     x     x      -
       0,1,2 0,2,3 2,3,5 3,4,5    0,1,2 0,1,4 2,3,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
      2                    2                                              
     x     x     x      - x     x     x      + 2x     x     x     x      +
      0,2,3 0,4,5 3,4,5    0,1,4 0,4,5 3,4,5     0,1,2 0,3,4 0,4,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                           
     x     x     x     x      + 2x     x     x     x      +
      0,1,3 0,1,5 0,4,5 3,4,5     0,1,2 0,2,3 1,4,5 3,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
                                                            2     2
     x     x     x     x      + x     x     x     x      + x     x
      0,1,2 0,1,4 1,4,5 3,4,5    0,1,2 0,1,3 2,4,5 3,4,5    0,1,2 3,4,5

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ZZ
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ----[x     ..x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     , x     ]
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          3331  0,1,2   0,1,3   0,2,3   1,2,3   0,1,4   0,2,4   1,2,4   0,3,4   1,3,4   2,3,4   0,1,5   0,2,5   1,2,5   0,3,5   1,3,5   2,3,5   0,4,5   1,4,5   2,4,5   3,4,5
o3 : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
     (x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x      - x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x      + x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x      - x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     , x     x      - x     x      + x     x     )
       2,3,5 1,4,5    1,3,5 2,4,5    1,2,5 3,4,5   2,3,4 1,4,5    1,3,4 2,4,5    1,2,4 3,4,5   2,3,5 0,4,5    0,3,5 2,4,5    0,2,5 3,4,5   1,3,5 0,4,5    0,3,5 1,4,5    0,1,5 3,4,5   1,2,5 0,4,5    0,2,5 1,4,5    0,1,5 2,4,5   2,3,4 0,4,5    0,3,4 2,4,5    0,2,4 3,4,5   1,3,4 0,4,5    0,3,4 1,4,5    0,1,4 3,4,5   1,2,4 0,4,5    0,2,4 1,4,5    0,1,4 2,4,5   1,2,3 0,4,5    0,2,3 1,4,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   2,3,4 1,3,5    1,3,4 2,3,5    1,2,3 3,4,5   1,2,5 0,3,5    0,2,5 1,3,5    0,1,5 2,3,5   2,3,4 0,3,5    0,3,4 2,3,5    0,2,3 3,4,5   1,3,4 0,3,5    0,3,4 1,3,5    0,1,3 3,4,5   1,2,4 0,3,5    0,2,4 1,3,5    0,1,4 2,3,5    0,1,2 3,4,5   1,2,3 0,3,5    0,2,3 1,3,5    0,1,3 2,3,5   2,3,4 1,2,5    1,2,4 2,3,5    1,2,3 2,4,5   1,3,4 1,2,5    1,2,4 1,3,5    1,2,3 1,4,5   0,3,4 1,2,5    0,2,4 1,3,5    0,1,4 2,3,5    0,2,3 1,4,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   2,3,4 0,2,5    0,2,4 2,3,5    0,2,3 2,4,5   1,3,4 0,2,5    0,2,4 1,3,5    0,2,3 1,4,5    0,1,2 3,4,5   0,3,4 0,2,5    0,2,4 0,3,5    0,2,3 0,4,5   1,2,4 0,2,5    0,2,4 1,2,5    0,1,2 2,4,5   1,2,3 0,2,5    0,2,3 1,2,5    0,1,2 2,3,5   2,3,4 0,1,5    0,1,4 2,3,5    0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   1,3,4 0,1,5    0,1,4 1,3,5    0,1,3 1,4,5   0,3,4 0,1,5    0,1,4 0,3,5    0,1,3 0,4,5   1,2,4 0,1,5    0,1,4 1,2,5    0,1,2 1,4,5   0,2,4 0,1,5    0,1,4 0,2,5    0,1,2 0,4,5   1,2,3 0,1,5    0,1,3 1,2,5    0,1,2 1,3,5   0,2,3 0,1,5    0,1,3 0,2,5    0,1,2 0,3,5   1,2,4 0,3,4    0,2,4 1,3,4    0,1,4 2,3,4   1,2,3 0,3,4    0,2,3 1,3,4    0,1,3 2,3,4   1,2,3 0,2,4    0,2,3 1,2,4    0,1,2 2,3,4   1,2,3 0,1,4    0,1,3 1,2,4    0,1,2 1,3,4   0,2,3 0,1,4    0,1,3 0,2,4    0,1,2 0,3,4

i4 : -- equivalently (but faster)...
     time assert(ChowV === chowForm f)
     -- used 1.03525 seconds

i5 : -- X-resultant of V
     time Xres = fromPluckerToStiefel dualize ChowV;
     -- used 0.222336 seconds

i6 : -- three generic ternary quadrics
     F = genericPolynomials({2,2,2},ZZ/3331)

         2               2                        2     2               2  
o6 = {a x  + a x x  + a x  + a x x  + a x x  + a x , b x  + b x x  + b x  +
       0 0    1 0 1    3 1    2 0 2    4 1 2    5 2   0 0    1 0 1    3 1  
     ------------------------------------------------------------------------
                          2     2               2                        2
     b x x  + b x x  + b x , c x  + c x x  + c x  + c x x  + c x x  + c x }
      2 0 2    4 1 2    5 2   0 0    1 0 1    3 1    2 0 2    4 1 2    5 2

o6 : List

i7 : -- resultant of the three forms
     time resF = resultant F;
     -- used 0.15534 seconds

i8 : assert(resF === sub(Xres,vars ring resF) and Xres === sub(resF,vars ring Xres))

Ways to use chowForm :

chowForm(Ideal)
chowForm(RingMap)

For the programmer

The object chowForm is a method function with options.

chowForm -- Chow form of a projective variety

Synopsis

Description

See also

Ways to use chowForm :

For the programmer